호너의 방법·조립제법 계산기
다항식의 계수와 x 값을 넣으면 조립제법 표를 그리고 몫·나머지와 f(x) 값을 함께 냅니다. 나머지가 곧 f(a)라는 나머지정리와, 0이면 (x−a)가 인수라는 인수정리를 한 표에서 확인하고 정수근으로 인수분해까지 밀고 갑니다.
쉼표나 공백으로 나눠 넣습니다. 빠진 차수의 자리에는 0을 넣습니다. 10차까지.
(x + 3)으로 나누려면 −3을 넣습니다. x + 3 = x − (−3)이기 때문입니다.
f(2)
0
f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. 나머지가 0이므로 (x − 2)는 f(x)의 인수입니다.
조립제법 표
| 차수 | 계수 | 곱해 올린 값 | 더한 값 |
|---|---|---|---|
| 3차 | 1 | — | 1 |
| 2차 | -6 | 2 | -4 |
| 1차 | 11 | -8 | 3 |
| 상수 | -6 | 6 | 0 |
첫 계수를 그대로 내려 쓰고, 거기에 x = 2를 곱해 다음 계수 위에 올린 뒤 더합니다. 이것을 끝까지 되풀이하면 마지막 칸이 나머지, 그 앞의 값들이 몫의 계수입니다. 마지막 칸이 곧 f(2) 값이라는 것이 나머지정리입니다.
나눗셈으로 적으면
x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 2)(x² − 4x + 3)
x에 2를 넣으면 앞의 곱이 0이 되어 나머지만 남습니다. 그래서 나머지가 곧 f(2) 값이고, 그것이 0이면 (x − 2)가 인수입니다(인수정리).
정수근으로 인수분해
x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
1차식들로 끝까지 쪼개졌습니다. 정수근을 하나 찾을 때마다 몫에 조립제법을 다시 적용하며, 중복근은 몫에 또 나타나므로 자연히 중복해서 잡힙니다.
유리근 후보
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
±(상수항의 약수)/(최고차항의 약수)입니다. 유리근이 있다면 반드시 이 안에 있습니다(유리근 정리). 그러니 근을 찾을 때 아무 값이나 넣어 볼 것이 아니라 이 목록만 훑으면 됩니다. 모두 8개입니다.
계산 방법
- 1계수를 차수가 높은 것부터 차례로 넣습니다. x³ − 6x² + 11x − 6이면 「1 -6 11 -6」입니다. 빠진 차수의 자리에는 0을 넣습니다.
- 2x 값을 넣습니다. (x + 3)으로 나누려면 −3을 넣어야 합니다.
- 3조립제법 표에서 「내려 쓰고 → 곱해서 올리고 → 더한다」를 한 줄씩 따라갑니다.
- 4마지막 칸이 나머지이자 f(x) 값입니다. 0이면 (x − a)가 인수입니다.
- 5아래 「정수근으로 인수분해」에서 이 다항식이 어디까지 쪼개지는지 봅니다.
자주 묻는 질문
같은 계산의 두 이름입니다. 조립제법은 다항식을 (x − a)로 나누는 절차로 배우고, 호너의 방법은 f(a) 값을 값싸게 구하는 방법으로 배우지만 손이 하는 일은 완전히 같습니다. 나머지가 곧 f(a)이기 때문입니다.
나누는 식을 f(x) = (x − a)q(x) + r로 적고 x에 a를 넣으면 첫 항이 0이 되어 f(a) = r만 남기 때문입니다. 이것이 나머지정리이고, 나머지가 0이면 f(x) = (x − a)q(x)가 되어 (x − a)가 인수라는 것이 인수정리입니다.
−3을 넣습니다. x + 3 = x − (−3)이므로 조립제법 왼쪽에 적는 값은 −3입니다. 부호를 그대로 +3으로 적는 것이 조립제법에서 가장 흔한 실수라, 이 계산기는 나누는 식이 아니라 「x = 얼마」로 입력을 받습니다.
곱셈 횟수가 차수만큼(n번)으로 줄기 때문입니다. x², x³을 따로 구해 더하면 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2번이 드는데, 괄호로 묶어 ((aₙx + aₙ₋₁)x + …) 꼴로 안쪽부터 계산하면 곱셈이 n번이면 끝납니다. 5차식이면 15번이 5번으로 줍니다.
계수가 모두 정수라면 ±(상수항의 약수)/(최고차항의 약수)만 보면 됩니다. 유리근이 있다면 반드시 이 목록 안에 있다는 것이 유리근 정리이며, 이 계산기는 그 후보를 모두 만들어 보여 줍니다. 후보에 없는 값은 넣어 볼 필요가 없습니다.
정수근까지입니다. 정수근을 찾을 때마다 몫에 조립제법을 다시 적용해 더 나눌 수 없을 때까지 밀고 가며, 중복근도 중복해서 잡습니다. 다만 1/2 같은 유리근이나 무리수·허수 근은 몫의 계수가 정수가 아니게 되어 표가 지저분해지므로 다루지 않고 후보 목록으로만 보여 줍니다.
계수와 x가 모두 정수면 도중에 나오는 값도 모두 정수라 오차가 전혀 없습니다. 다만 차수가 높고 x가 크면 값이 커져 정확히 나타낼 수 있는 한계(2⁵³)를 넘을 수 있는데, 그런 경우에는 화면에 경고가 함께 나옵니다. 소수를 넣으면 부동소수점 오차가 생기므로 나머지가 0인지는 계수 크기에 견준 허용오차로 판정합니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 검증은 나머지정리 자체를 검산으로 삼아 했습니다. 무작위로 만든 300개의 다항식에 대해 조립제법의 나머지가, 거듭제곱을 따로 구해 곧이곧대로 더한 f(a)와 일치하는지 대조했습니다.
- 교과서 예제 (x³ − 6x² + 11x − 6) ÷ (x − 2)의 몫 x² − 4x + 3과 나머지 0을 고정해 두었고, (x + 3)으로 나눌 때 −3을 넣어야 한다는 것도 +3을 넣으면 나머지가 30이 나오는 것으로 함께 고정했습니다.
- 인수분해는 찾은 근들을 도로 곱해 원래 계수가 나오는지 확인하는 방식으로 검산합니다. 중복근((x−2)³), 상수항이 0인 경우(x³ − x), 정수근이 아예 없는 경우(x² + 1)를 모두 테스트로 고정했습니다.
- 차수는 10차까지 다룹니다. 그 위로는 조립제법 표가 화면을 벗어납니다. 정수근은 절대값 10,000까지 찾습니다.
- 유리근 후보는 계수가 모두 정수이고 상수항이 0이 아닐 때만 뜻이 있어 그 경우에만 보입니다. 후보가 많으면 40개까지 보입니다.
- 나머지정리·인수정리·조립제법은 정의로 확정되는 계산이라 해가 바뀌어도 달라지지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.