구간 산술 오차 범위 계산기

덧셈은 [a+c, b+d], 뺄셈은 [a−d, b−c], 곱셈은 네 모서리 곱 중 최소와 최대, 나눗셈은 역수를 곱합니다. 뺄셈에서 위끝에서 아래끝을 빼는 것이 첫 함정입니다. 곱셈은 부호가 섞이면 어느 조합이 최소·최대가 될지 미리 알 수 없어 ac·ad·bc·bd를 모두 계산해야 합니다.

구간 산술이 두 피연산자를 서로 무관한 것으로 보고 계산하기 때문입니다. [1,2] − [1,2]는 「앞의 x는 1인데 뒤의 x는 2인 경우」까지 세어 [−1, 1]이 됩니다. 같은 변수가 두 번 나올 때 생기는 이 현상을 의존성 문제라고 하며, 버그가 아니라 방법의 성질입니다.

달라집니다. x ∈ [0,1]에서 f(x) = x(1−x)를 세 가지로 적으면 x·(1−x)는 [0,1], x − x²은 [−1,1], 1/4 − (x − 1/2)²은 [0,0.25]가 나옵니다. 참값 범위는 [0,0.25]이므로 세 번째만 정확합니다. 변수가 한 번만 나오는 꼴로 고쳐 쓰면 정확해지지만, 늘 그렇게 고쳐 쓸 수 있는 것은 아닙니다.

결과가 하나의 구간이 아니라 두 개의 반직선으로 갈라집니다. [2,4] ÷ [−1,1]은 (−∞,−2] ∪ [2,∞)입니다. 분모가 양수 쪽에서 0으로 갈수록 +∞로, 음수 쪽에서 갈수록 −∞로 가기 때문입니다. 이 갈라짐을 무시하고 하나의 구간으로 뭉개면 참값이 결과 밖으로 나가 버립니다.

제곱은 절대 음수가 될 수 없기 때문입니다. [−1,2]를 곱셈으로 처리하면 [−2, 4]가 나오지만 실제로 제곱하면 [0, 4]입니다. 같은 의존성 문제이며, 그래서 거듭제곱은 곱셈으로 풀지 않고 따로 구현해야 합니다.

보장하는 것이 다릅니다. 오차 전파는 표준편차를 1차 근사로 옮기는 것이라 결과가 확률적이고 참값이 범위를 벗어날 수도 있습니다. 구간 산술은 근사 없이 「반드시 이 안에 있다」를 보장하는 대신 훨씬 넓게 나옵니다. 최악의 경우를 알아야 하는 설계 검증에는 구간 산술이, 측정 불확도 보고에는 오차 전파가 맞습니다.

덧셈과 뺄셈은 두 구간의 폭이 그대로 더해집니다. 뺄셈이라고 폭이 줄지 않는다는 것이 요점입니다. 곱셈과 나눗셈은 대략 상대오차가 더해지므로 값이 클수록 절대 폭이 크게 벌어집니다.

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