잭나이프(편향·표준오차 추정) 계산기

관측값을 하나씩 빼 가며 n번 다시 계산해 추정량의 편향과 표준오차를 재는 방법입니다. 편향은 (n−1)(θ̄₍·₎ − θ̂), 표준오차는 √((n−1)/n · Σ(θ₍ᵢ₎ − θ̄₍·₎)²)로 구하며, 공식이 없는 통계량에도 쓸 수 있는 것이 장점입니다.

부트스트랩은 다시 뽑아 분포를 만들고 잭나이프는 하나씩 빼 만듭니다. 잭나이프는 난수를 안 쓰므로 같은 자료에 늘 같은 답이 나오고 계산이 n번으로 끝나는 대신, 중앙값처럼 매끄럽지 않은 통계량에서 무너집니다. 그런 통계량에는 부트스트랩을 써야 합니다.

통계량을 평균으로 두어 보세요. 잭나이프 표준오차가 통상의 s/√n과 정확히 같고 편향이 정확히 0으로 나옵니다. 또 「분산(n으로 나눔)」을 고르면 편향보정 추정값이 정확히 「분산(n−1로 나눔)」과 같아지는데, 잭나이프가 실제로 편향을 잡아내는 것을 눈으로 볼 수 있는 자리입니다.

하나를 빼도 중앙값이 거의 안 움직이거나 갑자기 건너뛰기 때문입니다. 홀수 개 표본에서는 뺀 값이 중앙값보다 작으냐, 크냐, 중앙값 자신이냐에 따라 딱 세 값 중 하나만 나옵니다. 관측이 백 개여도 세 가지뿐이라 흔들림을 제대로 재지 못하고, 표본을 키워도 참값으로 수렴하지 않습니다.

편향이 대개 1/n에 비례해 줄어든다는 가정에서 나온 배수입니다. 하나를 빼면 표본이 n에서 n−1로만 줄어드니 편향의 차이가 아주 작고, 그것을 (n−1)배 해서 원래 크기의 편향을 되짚는 것입니다. 이 가정이 깨지면 보정도 틀립니다.

θ̃ᵢ = n·θ̂ − (n−1)·θ₍ᵢ₎로 정의하는 값으로, 그 평균이 편향보정 추정값과 같고 표준오차가 잭나이프 표준오차와 같습니다. 평균을 다룰 때는 유사값이 그냥 원래 관측값이 되어, 잭나이프가 무엇을 하고 있는지 가장 잘 드러납니다.

조심해야 합니다. 정규 근사를 t 분포로 다듬은 구간이라 표본이 작거나 분포가 크게 치우치면 실제 포함률이 95%에 못 미칩니다. 또 관측값이 서로 독립이라고 보므로 시계열이나 군집 자료에는 그대로 쓰면 안 됩니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.