부트스트랩 신뢰구간·순열검정 계산기

표본 자체를 모집단으로 여기고 거기서 같은 크기만큼 복원추출(중복 허용)해 다시 뽑기를 수천 번 되풀이하는 방법입니다. 그렇게 얻은 통계량들의 분포에서 2.5%와 97.5% 자리를 잘라 내면 95% 신뢰구간이 됩니다. 자료를 더 모으지 않고 통계량의 흔들림을 재는 방법이며, 1979년 에프론이 내놓았습니다.

정규성을 믿기 어려울 때, 그리고 이론식이 마땅치 않은 통계량을 다룰 때 씁니다. 평균에는 t 분포 공식이 있지만 중앙값·절사평균·비율의 비·상관계수 같은 것에는 간단한 공식이 없습니다. 부트스트랩은 통계량이 무엇이든 같은 방식으로 구간을 냅니다.

이론이 통하는 자리에서 같은 답을 내는지 봅니다. 정규분포에 가까운 자료에서 평균의 부트스트랩 구간은 t 분포 구간과 거의 같아야 하고, 이 계산기는 두 구간을 나란히 냅니다. 부트스트랩 쪽이 몇 % 좁게 나오는 것은 정상입니다 — t 대신 사실상 정규 분위수를 쓰고 재표집의 흩어짐이 √((n−1)/n)만큼 작기 때문입니다.

두 무리를 한데 섞었다가 원래 크기대로 아무렇게나 다시 가르기를 되풀이합니다. 그렇게 얻은 «우연한 차이»들 가운데 실제 관측된 차이만큼 큰 것이 얼마나 흔한지가 곧 p값입니다. 분포 가정이 전혀 들어가지 않고, «귀무가설이 참이면 어느 무리에 속하든 상관없다»는 뜻을 그대로 옮긴 것입니다.

가르는 방법이 6만 가지 이하면 전부 세어 정확한 p값을 냅니다. 그보다 많으면 무작위로 섞기를 되풀이해 어림합니다. 어림일 때는 관측값 자신을 한 번 세는 관행을 따라 (극단인 것 + 1)/(횟수 + 1)로 계산하므로 p값이 0이 되지 않습니다. 자료가 그만큼 극단적이라도 «0보다 작다»고 말할 근거는 없기 때문입니다.

신뢰구간에는 2,000번, p값에는 10,000번이면 대개 넉넉합니다. 시드를 바꿔 가며 돌려 보고 값이 신경 쓰일 만큼 흔들리면 횟수를 늘리세요. 다만 횟수를 늘려도 좁힐 수 있는 것은 «계산의 흔들림»뿐이고, 표본이 작아서 생기는 불확실성은 줄어들지 않습니다.

20개 미만이면 조심해야 합니다. 부트스트랩은 «가진 표본이 모집단을 어지간히 닮았다»는 데 기대는 방법이라, 표본이 작으면 그 전제부터 미덥지 않고 구간이 실제보다 좁게 나오기 쉽습니다. 이 계산기는 표본이 20개 미만이면 화면에 알립니다. 재표집 횟수를 늘려도 나아지지 않고 자료를 더 모아야 합니다.

백분위 구간은 재표집 분포의 2.5%와 97.5% 자리를 그대로 씁니다. 기본(역백분위) 구간은 그것을 관측값 기준으로 뒤집어 2θ̂ − 상위분위수부터 2θ̂ − 하위분위수까지를 씁니다. 분포가 대칭이면 둘이 거의 같고, 치우쳐 있으면 갈립니다. 어느 쪽이 나은지는 상황에 따라 다르며 이 계산기는 둘 다 냅니다.

시드를 고정한 난수 생성기를 쓰기 때문입니다. 새로고침할 때마다 답이 바뀌면 계산기 노릇을 못 합니다. 시드를 바꾸면 값이 조금씩 달라지며, 그 흔들림의 크기가 곧 «재표집 횟수가 충분한가»의 답이 됩니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.