카프리카 상수(6174) 계산기

네 자리 수의 자릿수를 내림차순으로 늘어놓은 수에서 오름차순으로 늘어놓은 수를 빼는 일을 되풀이하면 반드시 닿게 되는 수입니다. 예를 들어 3524는 5432−2345=3087, 8730−0378=8352, 8532−2358=6174로 세 번 만에 닿습니다. 6174 자신은 7641−1467=6174라 제자리에 머뭅니다.

자릿수가 모두 같은 수(1111, 2222 등)만 빼면 언제나 닿습니다. 그리고 아무리 오래 걸려도 7번이면 끝납니다. 자릿수가 모두 같으면 내림차순과 오름차순이 같아 차가 0이 되고 거기서 멈추는데, 이것이 유일한 예외입니다.

495입니다. 954−459=495로 제자리에 머물며, 세 자리는 6번 안에 반드시 495에 닿습니다. 네 자리의 7번보다 한 번 적습니다.

없습니다. 다섯 자리에는 제자리에 머무는 수가 하나도 없고, 대신 여러 수를 도는 순환이 세 개 있습니다(4주기 둘, 2주기 하나). 「자릿수마다 상수가 하나씩 있다」고 넘겨짚기 쉽지만 사실이 아닙니다. 여섯 자리는 반대로 549945와 631764 두 개가 있고 7주기 하나가 따로 있습니다.

앞에 0을 채워 자릿수를 맞춥니다. 3087 다음은 8730−378이 아니라 8730−0378입니다. 이 0을 버리면 수열이 엉뚱한 데로 새어 6174에 닿지 않으므로, 이것이 카프리카 루틴에서 가장 흔한 실수입니다.

증명은 경우를 나눠 확인하는 방식입니다. 네 자리 수의 결과는 자릿수의 «구성»에만 달려 있어 실제로 확인할 경우가 얼마 되지 않고(0~9에서 중복을 허용해 넷을 고르는 715가지), 그 전부가 6174로 흘러든다는 것을 확인하면 끝납니다. 인도 수학자 D. R. Kaprekar가 1949년에 알렸습니다.

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