라그랑주 승수법 계산기

등식 제약 g(x,y)=0 아래에서 f(x,y)를 최적화하는 문제를, ∇f=λ∇g와 g=0을 함께 푸는 연립방정식 문제로 바꿉니다. 극값에서는 f의 등고선과 제약 곡선이 접하고, 그 접점에서 두 그래디언트가 같은 방향(비율 λ)을 가리킨다는 것이 이 방법의 핵심 아이디어입니다.

목적함수가 이차함수(Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F)이고 제약이 선형(px+qy=r)인 경우입니다. 이때 ∇f=λ∇g와 제약식을 합친 세 방정식이 (x,y,λ)에 대해 정확히 선형이 되어, 3×3 연립방정식을 크래머 공식으로 닫힌 형태로 풉니다. 반복이나 근사가 필요 없습니다.

네, A=B=1, C=D=E=F=0으로 두면 f(x,y)=x²+y²(원점으로부터의 거리 제곱)이 되어, 직선 px+qy=r 위에서 원점에 가장 가까운 점을 구하는 익숙한 문제와 정확히 같아집니다.

아닙니다. 라그랑주 조건은 극값의 후보를 찾을 뿐, 최댓값·최솟값·안장점 중 무엇인지는 별도로(엄밀하게는 테두리 헤시안으로) 판정해야 합니다. A>0, B>0이고 이차형식이 아래로 볼록한 «그릇 모양»이면 최솟값인 경우가 많다는 정도만 참고하시기 바랍니다.

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