보간 계산기

쓰는 점의 개수가 다릅니다. 선형 보간은 구하려는 x를 감싸는 양옆 두 점만 직선으로 이어 읽고, 라그랑주는 주어진 모든 점을 지나는 하나의 다항식을 만들어 읽습니다. 점이 n개면 라그랑주는 n−1차 다항식이 됩니다. 곡선이 휘어 있으면 다항식 쪽이 훨씬 정확하지만, 점이 많아지면 오히려 나빠지기도 합니다.

같은 다항식을 다른 꼴로 적은 것이기 때문입니다. n개의 점을 지나는 n−1차 다항식은 하나뿐이라(유일성), 어떤 방법으로 구성하든 같은 곡선이 나옵니다. 뉴턴 꼴을 쓰는 이유는 점을 하나 더 받았을 때 앞 계수를 그대로 두고 항 하나만 붙이면 되기 때문입니다. 라그랑주는 점이 늘면 전부 다시 계산해야 합니다.

아닙니다. 균등 간격으로 점을 늘리면 다항식의 차수가 같이 올라가면서 가장자리가 크게 요동칩니다 — 룽게 현상입니다. 1/(1+25x²)를 [−1, 1]에서 균등 11점으로 보간하면 함수값이 0~1인데도 양 끝 오차가 1.9를 넘고, 21점이면 60에 육박합니다. 점이 예닐곱 개를 넘어가면 고차 다항식 하나 대신 구간마다 낮은 차수를 쓰는 스플라인이나 선형 보간이 안전합니다.

계산은 되지만 믿을 수 없습니다. 범위 밖을 구하는 것은 보간이 아니라 외삽이고, 다항식은 범위를 벗어나는 순간 최고차항이 지배해 급격히 어긋납니다. 어긋나는 정도가 차수에 따라 폭발적이라 “조금만 밖”이라는 것도 없습니다. 이 도구는 범위 밖이면 외삽이라고 표시합니다.

표의 간격과 곡선의 휨에 따라 다릅니다. 관행은 선형 보간이지만 오차가 늘 무시할 만하지는 않습니다. 10℃ 간격 포화수증기압 표에서 43℃를 선형으로 읽으면 8.878kPa가 나오는데 참값은 8.651kPa로 2.6% 차이가 납니다. 증기압이 지수적으로 휘어 직선이 늘 위로 지나기 때문입니다. 같은 표를 5점 라그랑주로 읽으면 0.02%까지 좁혀집니다.

자료가 그 구간에서 무엇을 하는지 모른다는 뜻이므로 점을 더 확보하는 것이 답입니다. 방법 간 차이는 “점 사이에서 곡선이 어떻게 움직이는지”에 대한 가정의 차이일 뿐이고, 그 정보는 자료에 없습니다. 차이가 크다는 것은 어느 가정을 택하느냐가 결과를 좌우한다는 신호입니다.