람베르트 W 함수 계산기

x·eˣ = y를 만족하는 x를 주는 함수입니다. 지수와 일차식이 섞인 방정식은 초등함수로 x를 뽑아낼 수 없어서 «그 답» 자체에 이름을 붙인 것이며, 곱하기의 답에 나눗셈을, 거듭제곱의 답에 로그를 만든 것과 같은 자리입니다. 정의상 W(y)·e^{W(y)} = y가 항상 성립합니다.

둘 다 맞습니다. w·eʷ는 w = −1에서 최솟값 −1/e를 갖는 모양이라 −1/e ≤ y < 0 구간에서는 같은 y를 주는 w가 좌우로 하나씩 있습니다. W₀는 −1 이상, W₋₁은 −1 이하이며, 어느 쪽이 뜻이 있는지는 원래 문제가 정합니다. 하나만 보고 넘어가는 것이 이 함수를 쓸 때의 1순위 오류입니다.

y < −1/e = −0.367879441171442이면 실수 해가 없습니다. w·eʷ가 가질 수 있는 가장 작은 값이 −1/e이기 때문입니다. 정확히 −1/e일 때는 두 가지가 w = −1에서 만나 해가 하나이고, 조금만 커지면 갑자기 둘로 갈라집니다. 복소수 범위에서는 해가 있지만 이 계산기는 실수만 다룹니다.

W(1) = 0.567143290409783873…을 오메가 상수 Ω라고 부릅니다. Ω·e^Ω = 1을 만족하며 같은 말로 Ω = e^{−Ω}입니다. 계산기에 아무 수나 넣고 e^{−x}를 반복해서 누르면 이 값으로 수렴하는 것으로도 유명합니다.

양변에 ln을 씌우면 x·ln x = ln a가 되고, t = ln x로 두면 t·eᵗ = ln a라는 W의 꼴이 됩니다. 따라서 x = e^{W(ln a)}입니다. a가 1보다 작으면 답이 둘일 수 있는데, xˣ가 x = 1/e에서 최솟값 (1/e)^{1/e} ≈ 0.6922를 갖기 때문입니다. 그보다 작은 a에는 해가 없습니다.

할리법으로 찾습니다. 뉴턴법에 2차 보정을 붙인 것이라 삼차수렴이고 서너 번이면 끝납니다. 출발점은 y의 크기에 따라 다르게 잡는데, −1/e 근처에서는 p = √(2(ey+1))로 전개한 급수를, y가 크면 ln y − ln ln y + ln ln y/ln y를 씁니다. 할리법이 다른 가지로 넘어가거나 오차가 남으면 이분법으로 물러섭니다. 각 가지에서 함수가 단조라 이분법은 느릴 뿐 반드시 답을 찾습니다.

없습니다. 이름이 비슷할 뿐이며 그쪽은 빛이 물질을 지날 때의 흡광도를 다루는 법칙입니다. 같은 사람(요한 하인리히 람베르트)의 이름이 붙었다는 것 말고는 공통점이 없습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.