등분산 검정(레빈·브라운-포사이스) 계산기

각 값에서 그 집단의 중심을 뺀 절댓값을 새 자료로 만들고, 그 자료에 일원분산분석을 돌리는 것이 전부입니다. 통계량은 W = [(N−k)/(k−1)]·[Σnᵢ(z̄ᵢ−z̄)² / ΣΣ(zᵢⱼ−z̄ᵢ)²]이고 자유도 (k−1, N−k)의 F분포를 따릅니다. 분산이 큰 집단은 중심에서 떨어진 거리의 평균도 크므로, 「분산의 비교」를 「평균의 비교」로 바꿔치기한 셈입니다.

중심을 무엇으로 잡느냐만 다릅니다. 집단 평균을 쓰면 원래의 레빈 검정이고, 집단 중앙값을 쓰면 브라운-포사이스입니다. 계산 절차는 완전히 같지만 값이 달라지고, 셋 다 그냥 «레빈 검정»이라고 불리는 일이 흔해 결과가 재현되지 않습니다. 어느 중심을 썼는지 반드시 함께 밝혀야 합니다.

중앙값이 실무 기본값입니다. 자료가 치우쳐 있거나 이상치가 있으면 평균 기준 레빈은 등분산인데도 자꾸 기각합니다. 이상치 하나가 그 집단의 평균을 끌어당겨 「값에서 평균까지의 거리」를 통째로 부풀리기 때문입니다. 중앙값은 그렇게 끌려가지 않아 훨씬 강건하며, R의 car 패키지도 중앙값을 기본으로 씁니다. 꼬리가 매우 두꺼운 분포에는 절사평균을 쓰기도 합니다.

그쪽이 정규성에서 조금만 벗어나도 무너지기 때문입니다. 두 집단의 분산비를 보는 F검정과 여러 집단을 보는 바틀렛 검정은 자료가 정규가 아니면 분산이 같아도 다르다고 하기 일쑤입니다. 레빈 계열은 절댓값을 거치면서 그 민감함을 크게 덜어 냈고, 그래서 실무에서 이쪽을 씁니다.

표본 크기를 함께 보셔야 합니다. 표본이 크면 검정력이 올라가 사소한 차이도 유의해집니다. 집단마다 1000개씩 있으면 표준편차가 10.0과 10.4인 정도의 차이도 p가 0.05 아래로 내려가는데, 분산분석은 그 정도 불균형에 꿈쩍도 하지 않습니다. 「최대 표준편차 ÷ 최소 표준편차」가 2 아래면 대체로 괜찮다는 어림이 널리 쓰이므로, p값만 보고 등분산 가정을 버리지 마시고 이 비를 함께 보시는 편이 낫습니다.

그렇게 볼 수 없습니다. 특히 표본이 작으면 진짜 차이가 있어도 잡아내지 못합니다. 가설검정은 「다르다는 증거가 부족하다」까지만 말해 주고 「같다」를 증명하지 않습니다. 집단 크기가 작다면 기각되지 않았더라도 표준편차 비를 직접 보시고, 차이가 커 보이면 등분산을 가정하지 않는 방법을 쓰시는 편이 안전합니다.

요즘은 건너뛰고 처음부터 웰치 보정을 쓰라는 쪽이 늘고 있습니다. 먼저 등분산을 검정하고 그 결과에 따라 본 검정을 고르면 두 단계를 거치는 셈이라 전체 1종 오류가 부풀기 때문입니다. 웰치 보정은 등분산일 때도 손해가 거의 없어서, 이 검정 결과는 가정을 버릴지 말지의 근거보다 자료를 살펴보는 도구로 쓰시는 편이 나은 것으로 추정됩니다.

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