로그정규분포 계산기

평균은 exp(μ + σ²/2)이고 중앙값은 exp(μ)라서 평균이 언제나 더 큽니다. 두 값의 비가 exp(σ²/2)이므로 σ가 클수록 더 벌어지며, σ=1이면 평균이 중앙값의 1.649배가 됩니다. 오른쪽으로 길게 늘어진 꼬리의 큰 값 몇 개가 평균을 끌어올리기 때문이고, 「평균 소득」이 체감과 어긋나는 이유가 바로 이것입니다. 절반이 어디 있는지 알고 싶으면 중앙값을 보셔야 합니다.

언제나 최빈값 < 중앙값 < 평균입니다. 각각 exp(μ−σ²), exp(μ), exp(μ+σ²/2)이고 지수의 크기가 −σ² < 0 < σ²/2 순서라서 σ가 0보다 크기만 하면 순서가 뒤집히지 않습니다. σ가 0에 가까워지면 셋이 모두 exp(μ)로 모이면서 분포가 정규분포에 가까워집니다.

안 됩니다. μ와 σ는 로그를 취한 뒤의 평균·표준편차입니다. 원자료의 산술평균 m과 표준편차 s밖에 없다면 σ² = ln(1 + (s/m)²)로 σ를 먼저 구하고 μ = ln m − σ²/2로 역산해야 하며, 이 계산기의 «평균·표준편차» 모드가 그 변환을 대신합니다. 이 단계를 건너뛰고 원자료의 평균을 μ 자리에 넣는 것이 가장 흔한 오류입니다.

관측값에 로그를 취한 뒤 그 값들의 평균과 표본표준편차(n−1로 나눈 것)를 구합니다. 원자료의 평균에 로그를 씌우는 것이 아니라 각 값에 로그를 씌운 뒤 평균을 내는 것이 순서입니다. 그래서 exp(μ)는 관측값의 기하평균이 되며, 120·240·180이면 산술평균은 180이지만 기하평균은 173.07입니다. 0이나 음수는 로그를 취할 수 없어 제외되므로, 0이 많은 자료라면 로그정규분포가 맞는 모형인지 다시 생각해 보셔야 합니다.

exp(σ)이며 퍼짐을 «배수»로 나타낸 값입니다. 정규분포에서 평균 ± 1표준편차에 약 68%가 들어가듯, 로그정규분포에서는 중앙값에 GSD를 곱하고 나눈 구간에 약 68.27%가 들어갑니다. 중앙값 100에 GSD 2면 50~200 구간이 그렇습니다. 위아래 폭이 대칭이 아니라는 것이 요점으로, 아래로는 50만큼이지만 위로는 100만큼 벌어집니다.

아래로는 0에서 막히고 위로는 열려 있으며 여러 요인이 곱해져 만들어지는 양이 여기 가깝습니다. 소득, 부품 수명, 입자 크기, 도시 인구, 웹 응답시간이 자주 인용되는 예입니다. 정규분포가 «더해지는» 요인의 결과라면 로그정규분포는 «곱해지는» 요인의 결과라고 보시면 됩니다. 다만 실제 자료가 이 분포를 따른다는 보장은 없으므로, 로그를 취한 값이 정규분포에 가까운지 정규성 검정이나 확률지로 먼저 확인하시는 편이 안전합니다.

CV = √(exp(σ²) − 1)로 σ만 들어가기 때문입니다. 평균과 표준편차에 모두 exp(μ)가 공통으로 곱해져 있어 나누면 사라지므로, 중앙값이 10이든 1000이든 σ가 같으면 상대적인 퍼짐은 같습니다. 백분위 표의 «중앙값 대비» 배수가 μ를 바꿔도 그대로인 것도 같은 이유입니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.