읽고 말하기 수열(콘웨이) 계산기
1 → 11 → 21 → 1211 → 111221처럼 앞 항을 소리 내어 읽어 다음 항을 만드는 수열을 항마다 보여 줍니다. 길이가 콘웨이 상수 1.303577269…배씩 자라는 것, 22가 유일한 고정점인 것, 1에서 시작하면 1·2·3만 나오는 것을 함께 확인할 수 있습니다.
숫자만 넣습니다. 보통은 1에서 시작하지만 무엇으로 시작해도 됩니다.
40항까지 다룹니다. 항이 λ배씩 자라 그 뒤로는 화면에 담기지 않습니다.
12항의 길이
34자
1항 1자에서 시작해 34배가 됐습니다. 매 항 약 1.3356배씩 자랍니다.
항
| n | 항 | 길이 | 길이비 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | — |
| 2 | 11 | 2 | 2.0000 |
| 3 | 21 | 2 | 1.0000 |
| 4 | 1211 | 4 | 2.0000 |
| 5 | 111221 | 6 | 1.5000 |
| 6 | 312211 | 6 | 1.0000 |
| 7 | 13112221 | 8 | 1.3333 |
| 8 | 1113213211 | 10 | 1.2500 |
| 9 | 31131211131221 | 14 | 1.4000 |
| 10 | 13211311123113112211 | 20 | 1.4286 |
| 11 | 11131221133112132113212221 | 26 | 1.3000 |
| 12 | 3113112221232112111312211312113211 | 34 | 1.3077 |
어떻게 읽는가
1→1이 1개→11
11→1이 2개→21
21→2가 1개, 1이 1개→1211
1211→1이 1개, 2가 1개, 1이 2개→111221
개수를 먼저, 숫자를 뒤에 적는 것이 규칙입니다. 순서를 바꾸면 전혀 다른 수열이 됩니다. 값을 더하거나 곱하지 않고 「보이는 대로 읽는」 것만으로 만들어지는데도 길이가 정해진 비율로 자라는 것이 이 수열의 볼거리입니다.
계산 방법
- 1시작값을 넣습니다. 보통은 1에서 시작합니다.
- 2몇 항까지 만들지 정합니다.
- 3「어떻게 읽는가」에서 앞 항을 어떻게 읽어 다음 항이 나오는지 확인합니다.
- 4표의 길이비가 1.3035…에 다가가는지 봅니다.
- 5시작값을 22나 2222로 바꿔 어떻게 달라지는지 견줍니다.
자주 묻는 질문
앞 항을 소리 내어 읽은 것이 다음 항입니다. 1은 「1이 한 개」라서 11, 11은 「1이 두 개」라서 21, 21은 「2가 한 개, 1이 한 개」라서 1211이 됩니다. 개수를 먼저 적고 숫자를 뒤에 적는 것이 규칙이며, 순서를 바꾸면 전혀 다른 수열이 됩니다.
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, 31131211131221 순으로 이어집니다(OEIS A005150). 앞 항에서 같은 숫자가 이어지는 덩어리를 세어 「개수 + 숫자」로 적으면 됩니다.
항의 길이가 자라는 비율 λ = 1.303577269034296…입니다. 콘웨이가 1986년에 이 수열을 71차 다항식의 유일한 양의 실근으로 묶어 증명했습니다. 놀라운 것은 시작값이 무엇이든(22 하나만 빼고) 같은 λ로 수렴한다는 점입니다.
수렴이 느리고 위아래로 출렁이기 때문입니다. 40항에서도 한 걸음 길이비는 1.3028과 1.3043 사이를 오갑니다. 여러 항에 걸쳐 기하평균을 내면 출렁임이 상쇄돼 λ가 또렷해집니다 — 40항 기준으로 한 걸음 길이비의 오차가 약 0.0007인 반면 5항 평균은 0.00002까지 줄어듭니다.
영원히 22입니다. 「2가 두 개」라서 읽어도 다시 22가 되기 때문입니다. 한 자리부터 네 자리까지 모두 확인해도 이런 고정점은 22뿐이고, 그래서 22만은 길이가 자라지 않아 콘웨이 상수 이야기에서 빠집니다.
1에서 시작한 수열에는 같은 숫자가 넷 이상 이어지는 자리가 한 번도 생기지 않기 때문입니다. 개수에 4를 적을 일이 없으니 4 이상의 숫자가 나올 수 없습니다. 다만 이것은 1에서 시작했을 때의 이야기로, 2222처럼 같은 숫자를 넷 늘어놓고 시작하면 첫 걸음에서 바로 42가 나옵니다.
사라지지 않고 끝까지 따라다닙니다. 7로 시작하면 7 → 17 → 1117 → 3117처럼 7이 계속 남습니다. 읽는 규칙이 숫자를 없애지 못하기 때문입니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 처음 열 항을 OEIS A005150과 대조해 고정했습니다. 한 항씩 손으로 읽어 확인되는 값들이고, 덩어리로 자른 것을 도로 이어 붙이면 원래 항이 되는지도 함께 검사합니다.
- 콘웨이 상수 λ = 1.303577269034296…에 실제로 다가가는지 수치로 확인했습니다. 40항에서 한 걸음 길이비의 오차가 0.002 안쪽이고, 5항 기하평균은 소수 넷째 자리까지 맞습니다. 항을 뒤로 갈수록 오차가 준다는 것, 시작값을 3·9·132·1211로 바꿔도 같은 값으로 간다는 것도 고정했습니다.
- 「1에서 시작하면 같은 숫자가 넷 이상 이어지지 않는다」를 30항까지 실제로 검사합니다. 이 성질이 참이어야 1·2·3만 나온다는 것이 성립하므로, 결론이 아니라 근거 쪽을 검사한 것입니다.
- 22가 유일한 고정점이라는 것은 한 자리부터 네 자리까지 9,999개를 모두 훑어 확인했습니다.
- 항의 길이가 2항부터 언제나 짝수인 것(덩어리마다 개수와 숫자를 짝지어 적으므로), 다음 항의 길이가 덩어리 개수의 정확히 두 배인 것도 테스트로 고정했습니다.
- 항은 40항까지 만듭니다. λ배씩 자라 40항이면 6만 자를 넘기 때문이고, 표에는 앞 80자만 보이고 나머지는 길이로 대신합니다.
- 이 수열은 값을 더하거나 곱하지 않고 「보이는 대로 읽는」 것만으로 만들어집니다. 그래서 시험 문제의 규칙 찾기로 자주 나오지만, 계산이 아니라 표기를 읽는 것이라 처음에는 규칙이 눈에 잘 띄지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.