행렬 계수·영공간 계산기

서로 독립인 행(또는 열)이 몇 개인가입니다. 행으로 세든 열로 세든 같은 값이 나오는 것이 선형대수의 기본 정리 중 하나입니다. 기약 행 사다리꼴로 밀었을 때 피벗이 선 열의 개수가 곧 계수입니다.

계수 + 영공간 차원 = 열의 개수라는 관계입니다. 열이 곧 미지수이므로 「미지수 중 몇 개가 자유로운가」를 말해 줍니다. 계수가 열 개수와 같으면 자유변수가 없어 Ax = 0의 해가 0 하나뿐이고, 계수가 모자란 만큼 해가 이루는 공간의 차원이 늘어납니다. 이 계산기는 두 값을 더해 열 개수와 맞는지 늘 함께 보여 줍니다.

기약 행 사다리꼴에서 피벗이 없는 열(자유 열) 하나마다 벡터를 하나 만듭니다. 그 자리에 1을 놓고 다른 자유 열은 0으로 둔 뒤, 피벗 변수의 값을 그 행에서 부호를 뒤집어 옮겨 적으면 됩니다. 자유 열 자리가 서로 다른 위치의 1이므로 이렇게 만든 벡터들은 자동으로 서로 독립입니다.

부동소수점에서 계수는 계산이 아니라 판단이기 때문입니다. 소거를 하다 보면 이론상 0이어야 할 자리에 1e-16 같은 찌꺼기가 남는데, 이것을 0으로 보면 계수가 하나 줄고 살아 있는 값으로 보면 하나 늡니다. 이 계산기는 문턱을 행렬에서 가장 큰 값에 대한 상대 크기로 잡습니다. 절대값으로 잡으면 행렬을 통째로 상수배했을 때 계수가 달라지는 이상한 일이 생기기 때문입니다.

그 행렬은 계수가 문턱 근처에서 흔들린다는 뜻이므로 어느 쪽도 그대로 믿기 어렵습니다. 문턱을 바꿔 가며 어디서 값이 갈리는지 보고, 애초에 계수를 딱 잘라 말할 수 있는 문제인지 다시 생각해야 합니다. 측정값으로 만든 행렬이라면 계수보다 특이값의 크기 분포를 보는 편이 낫습니다.

행렬식은 정사각행렬에만 있고 「계수가 꽉 찼는가」만 알려 줍니다(0이면 모자람). 계수는 정사각이 아니어도 정의되고 얼마나 모자란지까지 알려 줍니다. 또 행렬식은 크기에 민감해서 행렬을 상수배하면 그 상수의 n제곱만큼 달라지지만, 계수는 그대로입니다.

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