행복수 판정기
수를 넣으면 자릿수를 제곱해 더하는 과정을 한 걸음씩 보이며 행복수인지 판정합니다. 1에 닿지 않는 수가 반드시 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 순환에 빠진다는 것과, 그래서 판정이 왜 끝나는지를 함께 보여 줍니다.
1 이상의 정수를 넣습니다. 아무리 큰 수라도 몇 걸음 안에 작아집니다.
자릿수를 어느 진법으로 펴서 제곱할지 고릅니다. 2진법과 4진법에서는 모든 수가 행복수입니다.
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행복수입니다
자릿수를 제곱해 더하는 것을 4번 되풀이하면 1에 닿습니다.
한 걸음씩
| 걸음 | 값 | 자릿수 제곱합 |
|---|---|---|
| 0 | 19 | 1² + 9² = 82 |
| 1 | 82 | 8² + 2² = 68 |
| 2 | 68 | 6² + 8² = 100 |
| 3 | 100 | 1² + 0² + 0² = 1 |
| 4 | 1 | — 도착 |
1에 닿으면 그 뒤로는 1² = 1이라 영원히 1입니다. 그래서 1은 이 놀이의 도착점이고, 1에 닿는 수를 행복수라고 부릅니다.
10진법의 순환
4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4(8개)
10진법에서 1에 닿지 않는 수는 반드시 이 가운데 하나로 갑니다. 다른 길은 없습니다 — 1,000 아래의 값을 모두 훑어 찾은 결과이고, 그보다 큰 수는 아래에서 설명하는 이유로 반드시 작아지기 때문입니다.
100 이하의 행복수
1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100
10진법에서 행복수는 드물지 않습니다. 100 이하에 20개, 1,000 이하에 143개(14.3%), 100,000 이하에 14,377개(14.4%)로 대략 일곱에 하나꼴입니다. 다만 비율이 어떤 값에 수렴하는지는 아직 증명되지 않았습니다.
계산 방법
- 1판정할 수를 넣습니다. 1 이상이면 얼마든지 커도 됩니다.
- 2진법을 고릅니다. 보통은 10진법입니다.
- 3「한 걸음씩」 표에서 자릿수 제곱합이 어떻게 이어지는지 봅니다.
- 41에 닿으면 행복수, 파란색 순환에 들어가면 행복수가 아닙니다.
- 5진법을 바꿔 가며 순환의 개수가 어떻게 달라지는지 견줍니다.
자주 묻는 질문
각 자릿수를 제곱해 더하는 것을 되풀이했을 때 1에 닿는 수입니다. 예를 들어 19는 1² + 9² = 82, 8² + 2² = 68, 6² + 8² = 100, 1² + 0² + 0² = 1로 네 걸음 만에 1에 닿으므로 행복수입니다. 100 이하의 행복수는 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100의 20개입니다.
아닙니다. 1에 닿지 않는 수는 반드시 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4라는 하나의 순환에 빠지고, 그 값을 다시 만나는 순간 판정이 끝납니다. 10진법에는 1 말고 이 순환뿐이라 「1에 닿지 않으면 반드시 4를 지난다」가 성립합니다.
있습니다. 10진법에서 자릿수 제곱합은 한 자리마다 최대 81이라 d자리 수는 81d를 넘지 못하는데, 4자리부터는 81d가 그 수 자신보다 작습니다. 그래서 네 자리 이상인 수는 옮길 때마다 반드시 줄어들어(999 → 243) 몇 걸음 안에 1000 아래로 떨어집니다. 그 아래는 값이 999가지뿐이라 언젠가 반드시 이미 지난 값을 다시 밟습니다.
순환의 개수가 달라집니다. 2진법과 4진법에는 순환이 하나도 없어 모든 수가 행복수이고, 10진법과 16진법에는 순환이 하나씩, 15진법에는 아홉 개나 있습니다. 3진법의 5처럼 자기 자신으로 가서 제자리에 멈추는 한 칸짜리 순환이 생기는 진법도 있습니다. 이 도구는 진법마다 상한 아래를 모두 훑어 순환을 직접 찾습니다.
10진법에서 대략 일곱에 하나꼴입니다. 100 이하에 20개(20%), 1,000 이하에 143개(14.3%), 100,000 이하에 14,377개(14.4%)가 있습니다. 다만 이 비율이 어떤 값에 수렴하는지는 아직 증명되지 않았습니다.
전혀 다른 놀이가 됩니다. 제곱 대신 세제곱을 쓰면 153, 370, 371, 407처럼 자기 자신으로 가는 고정점(나르시시스트 수)이 생겨 1 말고도 멈추는 자리가 여러 개 나옵니다. 「행복수」는 제곱합으로 정의된 이름입니다.
수학적 성질에서 온 이름이 아니라 관행적인 별명입니다. 운세나 길흉과는 아무 관계가 없고, 「1에 닿는다」는 성질에 붙인 이름일 뿐입니다. OEIS에는 A007770으로 실려 있습니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 10진법 판정을 OEIS A007770의 처음 20개(1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100)와 대조해 고정했습니다. 이 20개는 종이에서 한 줄씩 따라가 확인되는 값들입니다.
- 같은 판정을 플로이드의 토끼–거북이(값을 하나도 기억하지 않고 두 속도로 쫓아가 만나는지 보는 방법)로 한 번 더 구현해, 2·3·4·5·6·7·8·10·12·16진법에서 1~4000의 판정이 두 방법에서 같은 것을 확인했습니다. 원리가 겹치지 않는 두 방법이라 서로를 검산해 줍니다.
- 1000 이하의 모든 불행수가 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 순환 하나로만 간다는 것, 10진법에 그 밖의 순환이 없다는 것을 상한 아래 전수 탐색으로 확인했습니다.
- 진법마다의 순환은 외운 표가 아니라 상한 아래를 모두 훑어 찾은 것입니다. 찾은 순환이 실제로 닫혀 있고 서로 겹치지 않는 것, 상한 아래 모든 수가 1에 닿거나 찾아 둔 순환 중 하나로 가는 것을 2~16진법 전체에서 테스트로 고정했습니다.
- 2진법과 4진법에서 1~5000이 모두 행복수인 것도 계산으로 확인했습니다. 이 두 진법에만 순환이 없습니다.
- 「d자리 이상이면 반드시 줄어든다」는 상한 논증도 진법마다 실제 값으로 검사합니다. 이 상한이 있어서 판정이 유한한 걸음 안에 끝납니다.
- 시작 수는 1조까지 다룹니다. 그보다 커도 원리는 같지만 첫 걸음에서 이미 세 자리로 떨어져 볼거리가 없습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.