네스빗 부등식 계산기

a, b, c > 0이면 a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≥ 3/2가 항상 성립한다는 고전 부등식입니다. 등호는 a=b=c일 때만 성립합니다.

코시-슈바르츠 부등식의 엥겔 형태(edu/cauchy-schwarz-inequality와 같은 뿌리)를 x=a,y=b,z=c, 분모를 각각 a(b+c), b(c+a), c(a+b)로 두고 적용하면 좌변이 (a+b+c)²/(2(ab+bc+ca)) 이상임을 보일 수 있습니다. 여기에 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥ 0에서 나오는 (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ca)를 대입하면 3/2 이상이라는 결론이 나옵니다.

a=b=c일 때만 성립합니다. 이때 각 항이 정확히 a/(2a)=1/2이 되어 합이 3/2입니다.

a, b, c를 삼각형의 세 변으로 해석해도(삼각부등식을 만족하지 않는 임의의 양수라도) 부등식은 항상 성립합니다. 정삼각형(a=b=c)일 때 등호가 되는 것이 흥미로운 지점입니다.

세 값의 차이가 커질수록 합은 3/2보다 훨씬 커집니다. 예를 들어 a가 b, c에 비해 매우 작으면 a/(b+c)는 거의 0이지만 b/(c+a), c/(a+b)가 각각 거의 1에 가까워져 합이 2에 근접합니다.

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