코시-슈바르츠 부등식 계산기

모든 실수 벡터 a, b에 대해 |a·b| ≤ ‖a‖‖b‖가 항상 성립한다는 부등식입니다. 좌변은 두 벡터 내적의 절댓값, 우변은 두 벡터 크기(노름)의 곱입니다. 등호는 두 벡터가 평행할 때(하나가 다른 하나의 스칼라배일 때)만 성립합니다.

f(t) = ‖a−tb‖² = ‖a‖² − 2t(a·b) + t²‖b‖²는 제곱의 노름이라 항상 0 이상인 t에 대한 이차식입니다. 이차식이 항상 0 이상이려면 판별식이 0 이하여야 하고, 그 조건을 정리하면 (a·b)² ≤ ‖a‖²‖b‖²가 나와 양변에 제곱근을 씌우면 코시-슈바르츠 부등식이 됩니다.

내적의 기하적 정의 a·b = ‖a‖‖b‖cosθ를 대입하면 이 부등식은 |cosθ| ≤ 1이 됩니다. 즉 코시-슈바르츠 부등식은 「코사인은 절댓값이 1을 넘지 않는다」는 사실을 좌표축 없이 다시 쓴 것과 같습니다. 이 계산기는 두 벡터에서 그 각도를 거꾸로 구해 보여줍니다.

두 벡터가 평행할 때, 즉 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배(a = k·b)일 때만 성립합니다. 방향이 완전히 같으면 각도 0도에서, 정반대면 180도에서 등호가 됩니다. 두 벡터가 이루는 각이 0도나 180도가 아니면 좌변이 우변보다 항상 작습니다.

추천시스템·텍스트 유사도에서 쓰는 코사인 유사도(cosine similarity)가 항상 −1~1 사이에 있다는 사실이 바로 이 부등식에서 나옵니다. 상관계수가 항상 −1~1 사이인 것도 같은 원리입니다.

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