순서통계량(최댓값·k번째 값) 분포 계산기

자료를 크기순으로 늘어놓았을 때 k번째에 오는 값입니다. 최솟값·최댓값·중앙값·표본 백분위가 모두 순서통계량입니다. 값 하나하나가 아니라 정렬한 뒤의 자리를 다룬다는 점이 다릅니다.

F(X₍ₖ₎)가 Beta(k, n−k+1)을 따르기 때문입니다. 어떤 연속분포를 따르는 자료든 누적분포함수를 통과시키면 균등분포가 되므로(확률적분변환), 이 결과는 분포가 무엇이든 그대로 성립합니다. 응답시간이든 키든 소득이든 같습니다.

n개의 값이 구간을 n+1개의 조각으로 나누고, 그 조각들의 기대 길이가 모두 같기 때문입니다. 100개 중 95번째 값의 기댓값은 95%가 아니라 95/101 ≈ 94.06%입니다. 표본이 작을수록 이 차이가 눈에 띕니다.

생각보다 헐렁합니다. 100번 재서 얻은 95번째 값이 실제로 가리키는 자리는 90% 확률로 89.8%에서 97.4% 사이입니다. 대시보드의 p95가 어제와 오늘 달라 보여도 그 차이가 이 폭 안이라면 아무 일도 일어나지 않은 것일 수 있습니다.

자료를 더 모으는 것 말고는 없습니다. 구간 폭이 대략 1/√n으로 줄어들어 절반으로 하려면 표본이 네 배 필요합니다. 이 계산기는 그 수를 실제로 찾아 보여 줍니다. 꼬리 쪽 백분위일수록 같은 폭을 얻는 데 더 많은 표본이 듭니다.

아주 천천히만 커집니다. 균등분포에서 최댓값의 기댓값은 n/(n+1)이라 10개면 90.9%, 100개면 99.0%, 1000개면 99.9% 자리입니다. 표본을 열 배로 늘려도 자릿수 하나씩만 나아갑니다. 극단값 자체를 알고 싶다면 극단값 이론을 써야 합니다.

정해진 표준이 없습니다. 이 계산기는 가장 가까운 순위(nearest-rank) 방식으로 k = ⌈0.95n⌉을 씁니다. 선형보간을 쓰는 곳도 있어서 같은 자료로도 도구마다 조금씩 다른 p95가 나옵니다. 표본이 작을수록 그 차이가 큽니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.