주성분분석(PCA) 계산기

여러 방향으로 흩어진 점들 중, 분산(흩어진 정도)이 가장 큰 방향부터 순서대로 찾는 방법입니다. 그 방향들이 주성분이고, 원래 여러 차원이던 데이터를 분산이 큰 몇 개 방향만으로 요약(차원 축소)하는 데 씁니다.

어떤 방향 u로 점들을 투영했을 때의 분산은 uᵀCu(C는 공분산 행렬)로 쓸 수 있습니다. 이 값을 최대화하는 u를 구하면 그 조건이 정확히 Cu=λu, 즉 고유방정식이 됩니다. 그래서 분산을 최대화하는 방향은 반드시 공분산 행렬의 고유벡터이고, 고윳값이 큰 순서가 곧 분산이 큰 순서입니다.

그 두 도구는 일반 행렬의 고윳값·특이값 분해라는 대수 연산 자체를 다룹니다. 이 도구는 그것을 「데이터가 가장 크게 흩어진 방향 찾기」라는 구체적인 쓰임에 적용한 것으로, 공분산 행렬을 만드는 과정과 설명 분산 비율 해석이 더해집니다.

전체 분산 중 그 주성분 하나가 차지하는 비율입니다. 예를 들어 제1주성분의 설명 분산 비율이 90%라면, 원래 데이터의 흩어짐 중 90%를 그 방향 하나만으로 설명할 수 있다는 뜻입니다. 점들이 완전히 한 직선 위에 있으면 제1주성분이 100%를 설명합니다.

네, 흔한 조합입니다. 차원이 높은 데이터를 PCA로 분산이 큰 몇 개 방향으로 줄인 뒤, 그 축소된 좌표에서 k-평균 같은 군집화를 돌리면 계산이 가벼워지고 시각화도 쉬워집니다.