펠 수열 계산기
P(n)=2P(n-1)+P(n-2) 점화식으로 펠 수열의 n번째 항을 정확히 계산하고, 이웃 항의 비가 은비(1+√2)로 수렴하는 과정을 보여줍니다.
P(0)=0, P(1)=1부터 셉니다.
P(15)
195,025
2 × P(14) + P(13) = 2 × 80,782 + 33,461
| n | P(n) |
|---|---|
| 3 | 5 |
| 4 | 12 |
| 5 | 29 |
| 6 | 70 |
| 7 | 169 |
| 8 | 408 |
| 9 | 985 |
| 10 | 2,378 |
| 11 | 5,741 |
| 12 | 13,860 |
| 13 | 33,461 |
| 14 | 80,782 |
| 15 | 195,025 |
계산 방법
- 1몇 번째 항을 볼지 입력합니다(P(0)부터 셉니다).
- 2P(n) 값과 이웃 항의 비, 은비와의 차이를 확인합니다.
- 3카시니형 항등식이 지금 항에서 실제로 맞는지 함께 봅니다.
자주 묻는 질문
P(0)=0, P(1)=1로 시작해서, 그다음부터는 바로 앞 항의 두 배에 그 앞 항을 더하는 수열입니다(P(n)=2P(n-1)+P(n-2)). 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408...로 이어집니다.
피보나치는 바로 앞 두 항을 그대로 더하지만(F(n)=F(n-1)+F(n-2)), 펠 수열은 바로 앞 항에 «2배»를 해서 더합니다. 이 계수 하나 차이로 수렴하는 비율도 황금비 대신 은비로 바뀝니다.
이웃한 두 항의 비 P(n)/P(n-1)이 수렴하는 값으로, 방정식 x²=2x+1의 실근(δ≈2.4142135624, 즉 1+√2)입니다. 황금비가 x²=x+1의 근인 것과 같은 구조인데, 계수 1이 2로 바뀐 만큼 값도 달라집니다.
네, x²−2y²=±1의 정수해를 만드는 데 씁니다. 이름 자체가 이 방정식(펠 방정식)에서 왔습니다. 다만 해를 직접 구성하려면 짝을 이루는 펠-뤼카 수까지 함께 다뤄야 해서, 이 계산기는 펠 수열 자체의 값과 카시니형 항등식(P(n-1)·P(n+1)−P(n)²=(−1)ⁿ)까지만 보여줍니다.
아니요. 모든 계산은 브라우저 안에서만 이뤄지며 서버로 전송되지 않습니다.
알아두면 좋은 점
- 값은 BigInt로 정확히 계산합니다 — 부동소수점 근사식을 쓰지 않아 오차가 없습니다.
- 표에 담을 항 번호에 상한(500번째)을 두어 브라우저에서 바로 계산할 수 있는 범위로 제한합니다.
- 은비(δ≈2.4142135624)는 1+√2를 그 자리에서 계산해 씁니다 — 소수점을 따로 옮겨 적지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 11일 · 결과는 참고용 추정치입니다.