원형 평판 처짐·응력 계산기

판 강성 D = Et³/(12(1−ν²))로 나눈 δ = k·qa⁴/D 형태입니다. 등분포하중을 받는 구멍 없는 원판이라면 가장자리가 고정일 때 qa⁴/(64D), 단순지지일 때 qa⁴(5+ν)/(64D(1+ν))입니다. a는 반지름이므로 지름이 아니라 그 절반을 넣어야 합니다.

용접했거나 볼트를 촘촘히 죄었으면 고정, 테두리에 얹어만 두었으면 단순지지입니다. 실제 볼트 체결은 그 사이 어딘가라 어느 한쪽으로 딱 떨어지지 않습니다. ν=0.3에서 단순지지가 고정보다 4.08배 더 처지므로 차이가 큽니다. 안전하게 보려면 단순지지 쪽 값을 쓰세요.

가장자리를 어떻게 잡느냐에 따라 다릅니다. 고정판은 가장자리가 최대(σ = 3qa²/4t²)이고 중앙은 그 (1+ν)/2 = 0.65배뿐입니다. 단순지지판은 반대로 중앙이 최대(σ = 3qa²(3+ν)/8t²)이고 가장자리의 반지름방향 모멘트는 0입니다. 고정판을 중앙만 보면 최대응력을 1.54배 놓치며, 실제로 고정 원판은 가장자리에서 먼저 갈라집니다.

처짐은 두께의 세제곱에 반비례합니다. 두께를 20%만 올려도 처짐이 42% 줄어듭니다. 다만 응력은 두께의 제곱에만 반비례하므로(σ = 6M/t²) 처짐과 응력이 두께에 다르게 반응합니다. «처짐은 괜찮은데 응력이 아슬아슬한» 경우가 생기니 둘 다 봐야 합니다.

처짐은 반지름의 네제곱에 비례합니다. 지름이 2배가 되면 처짐은 16배, 응력은 반지름의 제곱이라 4배가 됩니다. 큰 뚜껑이 유난히 잘 휘는 것이 이 때문입니다.

달라지지 않습니다. 굽힘응력은 힘의 균형에서 나오는 값이라 탄성계수와 무관합니다. 강판을 알루미늄으로 바꾸면 처짐은 3배가 되지만 응력은 그대로입니다. 다만 견딜 수 있는 응력(항복강도)은 재료마다 다르므로 안전 여부는 달라집니다.

이 식이 얇은 판 이론이라 전단변형을 무시하기 때문입니다. 두꺼운 판에서는 전단으로 생기는 처짐이 무시할 수 없어져서, 실제로는 여기 나온 값보다 더 처집니다. 두꺼운 판에는 후판 이론이나 유한요소해석을 써야 합니다.

이 식이 실제보다 크게 나옵니다. 미소처짐 이론은 판이 휘기만 하고 늘어나지는 않는다고 보는데, 처짐이 두께 정도로 커지면 판이 늘어나며 버티는 «막 작용»이 생겨 실제로는 더 뻣뻣해집니다. 처짐이 두께의 절반을 넘으면 이 계산기가 경고를 냅니다.

넓이가 0인 점에 힘을 몰아 준다는 가정 자체가 만드는 값입니다. 중앙에 가까울수록 모멘트가 ln r로 한없이 커지므로 이론상 발산합니다. 실제로는 하중이 닿는 면적만큼 퍼져 유한한 값이 됩니다. 처짐은 유한하므로 그대로 쓸 수 있고, 고정판이라면 가장자리 응력 3P/(2πt²)이 설계값이 됩니다.

중요합니다. 등분포하중의 총하중을 그대로 중앙 한 점에 얹으면 고정판의 처짐이 정확히 4배가 됩니다(단순지지는 2.49배). 뚜껑 위에 물이 고이는 것과 사람이 올라서는 것은 같은 무게라도 다른 하중입니다.

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