점과 직선·평면 사이의 거리 계산기

직선 ax+by+c=0의 법선 벡터(직선에 수직인 방향)는 (a,b)입니다. 점에서 직선까지의 최단 거리는 이 법선 방향으로 잰 거리와 같아서, 점의 좌표를 방정식에 대입한 값(ax₀+by₀+c)을 법선 벡터의 크기(√(a²+b²))로 나누면 바로 나옵니다. 절댓값을 씌우는 것은 점이 직선의 어느 쪽에 있어도 거리는 항상 양수이기 때문입니다.

점에서 직선(또는 평면)에 수직으로 내린 선이 만나는 점입니다. 점에서 법선 벡터 방향으로 "부호 있는 거리만큼" 되짚어가면 구할 수 있습니다 — 방정식에 대입한 값을 법선 벡터의 제곱크기로 나눈 배수만큼 점을 법선 반대 방향으로 옮기면 직선(평면) 위의 점이 나옵니다.

같은 원리이기 때문입니다. 2차원에서는 직선의 법선이 (a,b)이고 3차원에서는 평면의 법선이 (a,b,c)로, 차원만 하나 늘었을 뿐 "방정식에 대입한 값을 법선 벡터 크기로 나눈다"는 구조는 똑같습니다.

됩니다. 같은 방향(a, b는 같고 c만 다름)의 두 직선 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 사이의 거리는 |c₁−c₂|/√(a²+b²)로, 한쪽 직선 위의 아무 점이나 다른 직선과의 거리를 재는 것과 같은 결과입니다.