무작위 걸음 되돌아올 확률 계산기

1차원과 2차원에서는 100%, 3차원에서는 약 34.05%입니다. 폴리아가 1921년에 증명한 결과이며, 「취한 사람은 집에 돌아오지만 취한 새는 영영 길을 잃는다」는 말이 여기서 나왔습니다. 차원이 하나 늘 때마다 흩어질 방향이 늘어 원점을 다시 밟기가 급격히 어려워집니다.

원점에 머무는 횟수의 기댓값이 유한해지기 때문입니다. 2n걸음 뒤 원점에 있을 확률이 1차원에서는 대략 1/√(πn), 2차원에서는 1/(πn), 3차원에서는 n의 −3/2제곱에 비례합니다. 앞의 둘은 모두 더하면 무한대로 발산하지만 3차원은 약 1.5164로 수렴합니다. 돌아올 확률 p와 방문 횟수 기댓값 G 사이에 G = 1/(1−p)가 성립하므로, G가 유한하면 p가 1보다 작아집니다.

반드시 돌아오지만 평균 돌아오는 시간은 무한대입니다. n걸음 안에 한 번도 원점을 밟지 않을 확률이 1/√(πn)꼴로 아주 천천히 줄기 때문입니다. 1000걸음을 걸어도 2.5%는 아직 한 번도 돌아오지 않았고, 10000걸음에서도 0.8%가 남습니다.

√n에 비례합니다. 걸음마다 길이가 1이고 방향이 서로 상관없으므로 거리 제곱의 기댓값이 정확히 n이며, 이는 차원과 무관합니다. 그래서 100걸음을 걸어도 원점에서 10칸쯤, 10000걸음을 걸어도 100칸쯤 떨어져 있을 뿐입니다. 걸음 수를 네 배로 늘려야 거리가 두 배가 됩니다.

판을 45도 돌려 보면 2차원 걸음이 서로 상관없는 두 개의 1차원 걸음으로 갈라지기 때문입니다. 네 방향 이동을 x+y와 x−y라는 좌표로 바꿔 보면 각각이 독립적으로 ±1씩 움직입니다. 그래서 2n걸음 뒤 원점에 있을 확률이 1차원 값의 정확한 제곱이 됩니다.

다릅니다. 파산 문제는 위아래에 벽이 있어 어느 한쪽에 닿으면 끝나는 걸음이고, 여기서는 벽 없이 무한히 이어지는 걸음에서 원점을 다시 밟을지를 봅니다. 벽이 있으면 반드시 어느 한쪽에 닿아 끝나지만, 벽이 없으면 3차원부터는 원점을 영영 못 볼 수 있습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.