다각수(삼각수·사각수·오각수) 계산기

점을 정다각형 모양으로 늘어놓았을 때의 개수입니다. 삼각수 1, 3, 6, 10…은 삼각형으로 쌓은 것이고 사각수 1, 4, 9, 16…은 정사각형으로 놓은 것입니다. s각수의 n번째 값은 P(s,n) = ((s−2)n² − (s−4)n)/2이며, s = 4를 넣으면 n²로 돌아옵니다.

P(s,n) = (s−2)·T(n−1) + n입니다. T는 삼각수 T(k) = k(k+1)/2입니다. 다각형을 삼각형 (s−2)개로 자르고 겹친 변 위의 점을 정리하면 n개가 남는다는 그림 그대로라, 위의 이차식보다 뜻이 분명합니다. 전개하면 두 식은 같습니다.

P(s,n) = N을 n에 대해 풀어 n = (√(8(s−2)N + (s−4)²) + (s−4)) / (2(s−2))가 양의 정수인지 봅니다. 판별식이 완전제곱이고 나눗셈이 딱 떨어져야 다각수입니다. 다만 제곱근을 실수로 재면 큰 수에서 1씩 어긋나므로, 정수 제곱근을 구해 제곱으로 되짚어 확인해야 합니다.

가운데 점 하나를 두고 그 둘레에 다각형 껍질을 두르며 세는 다른 수열입니다. C(s,n) = 1 + s·n(n−1)/2이고, 중심 육각수 1, 7, 19, 37…은 육각수 1, 6, 15, 28…과 전혀 다릅니다. 이름이 비슷해 자주 뒤섞이므로 이 도구는 둘을 나란히 냅니다.

있습니다. 1225는 49번째 삼각수이면서 35의 제곱이라 사각수이기도 하고, 40755는 삼각수·오각수·육각수를 한꺼번에 만족합니다. 다만 육각수는 언제나 홀수 번째 삼각수(H(n) = T(2n−1))라 「삼각수이자 육각수」는 우연이 아니라 반드시 따라오는 성질입니다.

P(s,n) − P(s,n−1) = (s−2)(n−1) + 1입니다. 이것을 그노몬이라 부르며, 차가 s−2씩 일정하게 늘어납니다. 사각수의 차가 1, 3, 5, 7…인 홀수열인 것이 s−2 = 2인 경우이고, 홀수를 차례로 더하면 제곱수가 되는 것이 여기서 나옵니다.

파스칼 삼각형의 세 번째 대각선이 그대로 삼각수 1, 3, 6, 10…입니다. C(n,2)가 삼각수이기 때문이며, 그 다음 대각선은 삼각수를 쌓은 사면체수입니다. 다각수를 조합으로 다시 쓰면 파스칼 삼각형 안에서 그 자리를 찾을 수 있습니다.

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