거듭제곱법(최대 고윳값) 계산기

아무 벡터에나 행렬을 거듭 곱하면 절댓값이 가장 큰 고윳값의 고유벡터 쪽으로 쏠리기 때문입니다. 시작 벡터를 고유벡터들의 합으로 적으면 Aᵏx₀ = λ₁ᵏ(c₁v₁ + c₂(λ₂/λ₁)ᵏv₂ + …)이 되어 작은 고윳값 쪽 항이 사그라듭니다. 고윳값은 레일리 몫 λ = xᵀAx/xᵀx로 읽습니다.

두 번째로 큰 고윳값과의 비 |λ₂/λ₁|가 1에 가깝기 때문입니다. 이 비가 0.5면 반복마다 오차가 절반씩 줄지만 0.99면 백 번을 돌려도 거의 그대로입니다. 이 계산기는 반복마다의 잔차비를 표로 내어 실측 속도가 그 비로 다가가는 것을 보여 줍니다.

크기가 같은 고윳값이 둘 있는 경우일 수 있습니다. λ = +3과 −3처럼 부호만 다르거나 켤레복소수 쌍(회전행렬이 그렇습니다)이면 벡터가 두 방향 사이를 영원히 오갑니다. 거듭제곱법이 원리상 풀 수 없는 경우이므로 반복을 늘려도 소용이 없습니다.

역거듭제곱법으로 바꾸고 σ를 0으로 두면 됩니다. (A − σI)⁻¹의 고윳값이 1/(λᵢ − σ)이므로 σ에 가까운 λᵢ가 가장 크게 부풀려져 먼저 나옵니다. σ를 3 근처로 두면 3에 가장 가까운 고윳값이 나오는 식입니다.

수치는 불안정해 보이지만 오히려 더 빨리 수렴합니다. A − σI가 거의 특이해져 풀이의 오차가 커지는데, 그 오차가 마침 우리가 찾는 고유벡터 방향으로 커지기 때문입니다. 다만 σ가 고윳값과 정확히 같으면 특이행렬이 되어 풀 수 없습니다.

고유값 계산기는 「고윳값이 얼마인가」를 특성방정식으로 답하고, 이 계산기는 「어떻게 찾는가」와 「얼마나 빨리 찾는가」를 보입니다. 특성방정식은 4×4를 넘으면 근을 구할 수 없지만 거듭제곱법은 크기에 제한이 없어, 실제 수치 라이브러리가 큰 행렬에 쓰는 방법의 바탕이 됩니다.

대칭행렬에서 고유벡터의 오차가 ε일 때 레일리 몫의 오차가 ε²이기 때문입니다. 벡터가 아직 어설퍼도 고윳값은 이미 상당히 정확합니다. 성분 하나를 골라 비를 재는 방법은 그 성분이 0에 가까우면 크게 흔들립니다.

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