리처드슨 외삽·롬베르그 적분 계산기

h를 반씩 줄여 잰 근사값 두 개를 섞어 오차의 주된 항을 지우는 방법입니다. A(h) = L + c·hᵖ + …라면 L ≈ (2ᵖ·A(h/2) − A(h))/(2ᵖ − 1)로 hᵖ 항이 사라집니다. 덜 정확한 값 둘로 더 정확한 값 하나를 만드는 셈이고, 이것을 되풀이하면 삼각형 표가 됩니다.

사다리꼴 규칙에 리처드슨 외삽을 되풀이해 씌운 것이 롬베르그 적분입니다. 사다리꼴의 오차는 h의 짝수 제곱만 남으므로(오일러–매클로린 공식) p = 2, 4, 6으로 두 칸씩 뛰며 외삽할 수 있어, 한 열 갈 때마다 정확도가 두 단계씩 올라갑니다.

사실이고, 우연이 아닙니다. 사다리꼴 T에 대해 (4T(h/2) − T(h))/3을 풀어 쓰면 심프슨의 (h/3)(f₀ + 4f₁ + 2f₂ + …)가 그대로 나옵니다. 같은 것을 다르게 유도한 것이며, 이 항등식이 구현을 검산하는 가장 좋은 방법이어서 이 계산기도 두 값의 차를 함께 냅니다.

오차가 h의 거듭제곱 꼴로 매끄럽게 줄어든다는 전제가 지켜지면 그렇습니다. 참값을 넣으면 이 계산기가 그 비를 실제로 재어 표에 함께 보여 줍니다. 사다리꼴 열은 4배, 첫 외삽 열은 16배, 그다음은 64배씩 줄어야 합니다.

있습니다. 함수가 구간 안에서 꺾이거나 튀면, 또는 끝점에서 도함수가 발산하면(√x의 0 근처) 오차가 h의 거듭제곱 꼴이 아니어서 외삽이 듣지 않습니다. 이때는 단계를 늘려도 소용없고 구간을 나눠 따로 적분하거나 변수를 바꿔야 합니다.

아닙니다. 오차가 배정밀도의 한계(10⁻¹⁶쯤)에 닿으면 외삽의 뺄셈에서 자릿수가 날아가 오히려 나빠집니다. 수치미분에서 h를 자꾸 줄이면 절단오차 대신 반올림 오차가 커지는 것과 같은 이유입니다. 오차비 열이 이론값을 지키는 곳까지만 믿는 것이 안전합니다.

수치적분 계산기는 사다리꼴·중점·심프슨 같은 방법 자체를 견주고, 이 계산기는 「이미 있는 근사값들을 섞어 더 좋게 만드는 것」에 초점을 둡니다. 그래서 적분뿐 아니라 수치미분과 직접 넣은 수열에도 같은 표를 씁니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.