에이트킨 델타제곱 수렴 가속 계산기

yₙ = xₙ − (Δxₙ)²/Δ²xₙ로 수열을 바꿔 훨씬 빨리 극한에 다가가게 하는 방법입니다. 수열이 xₙ ≈ A + B·rⁿ 꼴로 다가간다고 보면 미지수가 A·B·r 셋이고 연달은 항이 셋 있으니 세 항만으로 A를 풀어낼 수 있는데, 그 풀이가 이 식입니다.

등비급수의 부분합이 정확히 A + B·rⁿ 꼴이기 때문입니다. 이 변환은 그 꼴을 전제로 A를 풀어내는 것이므로, 전제가 정확히 맞으면 첫 번째 항부터 극한 그 자체가 나옵니다. 실제 수열은 그 꼴에 가까울 뿐이라 딱 떨어지지는 않지만 그만큼 가까워집니다.

대수적으로는 같지만 쓰면 안 됩니다. 분자에서 거의 같은 두 큰 수를 빼게 되어 유효숫자가 날아갑니다. 극한이 1억인데 남은 차이가 0.001인 수열에서 이 계산기가 쓰는 뺄셈 꼴은 오차가 1e−8인데, 나누기 꼴은 3000이 넘게 어긋납니다. 열한 자릿수 차이입니다.

됩니다. 얻은 수열에 다시 거는 것을 섕크스 변환이라고 하며, 한 단계마다 항이 둘씩 줄지만 훨씬 빨리 다가갑니다. 이 계산기는 삼각형 표로 쌓아 보여 주므로 오른쪽으로 갈수록 자릿수가 붙는 것을 볼 수 있습니다.

분모 Δ²가 0에 가까워졌기 때문입니다. 세 항이 거의 같아졌다는 뜻인데, 이때는 더 좋아진 것이 아니라 더 이상 짜낼 것이 없는 것입니다. 이 계산기는 그런 자리를 ⚠로 표시하므로 그 아래 단계는 믿지 말고 되풀이 횟수를 줄이거나 항을 늘려야 합니다.

고정점 반복 xₙ₊₁ = g(xₙ)에 에이트킨을 붙인 것입니다. 세 번 돌린 뒤 에이트킨으로 건너뛰기를 되풀이하면 수렴 차수가 1에서 2로 올라갑니다. 도함수를 쓰지 않고 뉴턴법의 속도를 얻는 셈입니다.

발산하는 수열, 진동이 등비꼴이 아닌 수열, 아주 느리게 다가가는 수열에는 효과가 없거나 오히려 나빠집니다. 전제가 「xₙ ≈ A + B·rⁿ」이므로 그 모양에서 멀수록 얻는 것이 적습니다. 조화급수처럼 극한이 아예 없는 경우도 마찬가지입니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.