테일러 급수 전개 계산기

f(x) ≈ Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! × (x−a)ⁿ으로 구합니다. 전개점 a에서의 n계 도함수를 n!로 나눈 것이 계수이고, 여기에 (x−a)ⁿ을 곱해 더해 나갑니다. a를 0으로 두면 매클로린 급수가 되어 eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + …, sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − … 같은 익숙한 꼴이 나옵니다.

급수가 실제 함수값으로 모이는 구간의 폭입니다. |x − a|가 이 반경보다 작아야 차수를 올릴수록 정확해집니다. ln(1+x)를 x=0에서 전개하면 반경이 1이라 x=0.5는 잘 맞지만 x=2에서는 100차를 써도 발산합니다. eˣ·sin·cos는 반경이 무한대라 어디서든 수렴합니다.

수렴 반경 밖이기 때문입니다. 반경 밖에서는 항의 크기가 줄지 않고 오히려 커져서, 더할수록 값이 튑니다. 급수가 틀린 것이 아니라 그 자리에서는 애초에 성립하지 않는 것입니다. 해결책은 차수를 올리는 것이 아니라 전개점 a를 x 가까이로 옮기는 것으로, 그러면 수렴 반경도 함께 움직입니다.

수렴은 하지만 필요한 차수가 크게 늘어납니다. sin(10)을 매클로린 급수로 계산하려면 40차는 되어야 쓸 만해지고, 중간 항이 수천까지 커졌다가 서로 상쇄되면서 부동소수점 오차도 남습니다. 그래서 실제 라이브러리들은 값을 먼저 좁은 구간으로 접어 넣은 뒤 낮은 차수의 급수를 씁니다.

함수와 |x − a|에 따라 다릅니다. 교대급수(sin, ln(1+x) 등)는 오차가 첫 생략항보다 작다는 성질이 있어 다음 항의 크기로 가늠할 수 있습니다. sin(1)을 7차로 계산하면 오차가 x⁹/9! = 2.7×10⁻⁶ 수준입니다. 반면 eˣ처럼 부호가 모두 같은 급수는 꼬리가 그대로 더해져 오차가 첫 생략항보다 조금 큽니다.

이 계산기는 도함수가 닫힌 꼴로 알려진 표준 함수만 다룹니다. 임의의 식을 전개하려면 기호 미분이 필요하기 때문입니다. 대신 지원하는 함수는 전개점을 자유롭게 옮길 수 있는데, 예를 들어 sin의 n계 도함수는 sin(a + nπ/2)로 바로 나오는 식입니다.