크기 편향 표집 계산기

집단을 고르는 것이 아니라 구성원을 고르면 큰 집단이 크기에 비례해 더 자주 뽑히는 현상입니다. 크기가 x인 집단은 x명을 통해 뽑히기 때문입니다. 그래서 구성원이 답하는 평균 집단 크기가 E[X²]/E[X]가 되어 집단 기준의 평균 E[X]보다 큽니다.

무엇을 무작위로 고르느냐가 다르기 때문입니다. 학급이 10·10·100명이면 학교가 밝히는 평균은 40명이지만, 학생을 붙잡고 물으면 (10×10 + 10×10 + 100×100)/120 = 85명이 나옵니다. 100명 반의 학생이 전체의 83%를 차지하므로 그 답이 훨씬 자주 나오는 것입니다. 둘 다 맞는 계산이며 질문이 다를 뿐입니다.

정확히 분산 ÷ 평균입니다. E[X²] = μ² + σ²이므로 E[X²]/E[X] = μ + σ²/μ이기 때문입니다. 분산이 음수가 될 수 없으므로 겪는 평균은 언제나 밝히는 평균 이상이고, 모든 집단이 같은 크기일 때만 둘이 같아집니다. 비로 보면 1 + CV²(변동계수의 제곱)배입니다.

긴 간격이 시간 축에서 더 넓은 자리를 차지해 아무 때나 갔을 때 그 안에 떨어질 확률이 크기 때문입니다. 기대 대기시간이 「평균 간격의 절반」이 아니라 E[X²]/(2·E[X])입니다. 평균 10분이라도 2분 간격 다섯 번에 50분 간격 한 번이라면 기대 대기가 5분이 아니라 21분입니다.

기대 대기시간이 평균 간격과 같아집니다. 지수분포는 변동계수가 1이라 E[X²]/E[X] = 2μ가 되고 그 절반이 μ이기 때문입니다. 평균 10분 간격인데 10분을 기다리게 된다는 뜻이며, 지수분포의 무기억성 — 얼마나 기다렸든 앞으로 기다릴 시간의 기대값이 그대로라는 성질 — 을 다르게 말한 것이기도 합니다.

「내 친구들은 나보다 친구가 많다」가 대부분의 사람에게 참인 현상입니다. 친구 관계를 따라가 사람을 고르면 친구가 많은 사람이 더 자주 걸려, 이웃의 평균 친구 수가 E[d²]/E[d]가 되기 때문입니다. 열등감의 근거가 아니라 표집 방식이 만들어 내는 것입니다.

집단이나 간격끼리 상관이 있으면 그대로 쓸 수 없습니다. 버스가 앞차를 따라잡아 뭉쳐 다니는 경우가 그렇습니다. 위 식은 크기가 서로 독립이고 분포가 주어진 대로라는 가정 위에 있으므로, 그런 경우에는 실제 도착 기록으로 대기시간을 직접 재는 편이 낫습니다.

전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.