표피 효과 침투깊이 계산기

교류가 도체의 껍질 쪽으로 몰려 흐르는 현상입니다. 도체 안을 흐르는 교류가 만든 자기장이 다시 도체 안에 와전류를 유도하고, 그 와전류가 안쪽 전류를 상쇄하기 때문입니다. 전류밀도가 표면에서 안쪽으로 갈수록 지수적으로 줄어들며, e분의 1(약 37%)로 줄어드는 깊이를 침투깊이라 합니다.

δ = √(ρ/(π·f·μ₀·μᵣ))입니다. ρ는 저항률, f는 주파수, μᵣ는 비투자율입니다. 현장에서는 δ[m] = 503·√(ρ/(μᵣ·f))로 적기도 하는데, 503은 1/√(π·μ₀) = 503.29를 반올림한 것이라 같은 식입니다.

주파수의 제곱근에 반비례합니다. 주파수가 100배면 침투깊이는 10분의 1입니다. 구리는 60Hz에서 8.4mm인데 1MHz에서는 65µm, 2.4GHz에서는 1.3µm까지 얇아집니다. 그래서 고주파에서는 굵은 단선을 써도 가운데가 놀아 소용이 없고, 가는 선을 여러 가닥 꼬은 리츠선이나 속이 빈 중공 도체를 씁니다.

비투자율 μᵣ가 분모에 있기 때문입니다. μᵣ가 1000이면 침투깊이가 √1000 ≈ 32분의 1로 줄어들어, 철은 60Hz에서도 1mm 안쪽입니다. 유도가열이 표면만 달구는 원리가 이것이고 표면경화 열처리도 같은 성질을 씁니다. 다만 강자성체의 μᵣ는 자기장 세기와 온도에 따라 수십 배로 달라지므로 결과는 자릿수만 보아야 합니다.

이 계산기는 「두께 δ인 껍질에만 전류가 고르게 흐른다」고 보는 껍질 모형으로 R_AC/R_DC ≈ a²/(2aδ−δ²)를 냅니다. 실제 전류밀도는 지수적으로 줄고 정확한 해는 베셀 함수로 쓰므로 이것은 만화에 가깝습니다. 반지름이 침투깊이의 세 배를 넘으면 널리 쓰이는 점근식 a/(2δ)+1/4와 몇 % 안에서 맞고, 그 아래에서는 점근식이 1보다 작아져 쓸 수 없습니다.

저항률이 오르면 침투깊이도 두꺼워집니다. ρ(T) = ρ₂₀·(1 + α(T−20))로 보정하는데, 구리는 100°C에서 저항률이 31% 올라 침투깊이가 14%쯤 두꺼워집니다. 표의 값은 모두 20°C 기준이므로 뜨거운 도체를 다룰 때는 보정이 필요합니다.

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