연속 성공(연승) 확률 계산기

80.1%입니다. 한 자리에서 6연속이 나올 확률은 1/64 = 1.6%뿐이지만, 6연속이 시작될 수 있는 자리가 195개나 있어서 「어디선가 한 번」은 거의 확실해집니다. 시행이 길면 긴 연속이 나오는 쪽이 정상이고, 안 나오는 쪽이 오히려 이상합니다.

연속이 시작될 수 있는 자리들이 서로 겹치기 때문입니다. 1번 자리에서 시작한 6연속과 2번 자리에서 시작한 6연속은 독립이 아니라, 단순히 곱해서 더하면 같은 사건을 여러 번 세게 됩니다. 확률이 작을 때는 비슷한 값이 나오지만 커지면 1을 넘어 버립니다. 「지금 몇 연속인가」를 상태로 두는 점화식으로 정확히 구해야 합니다.

E = (1 − p^k)/((1−p)·p^k)입니다. 동전에서 2연속 앞면은 평균 6번, 3연속은 14번, 4연속은 30번으로 2^(k+1) − 2가 됩니다. 「HH는 4번쯤이면 나오겠지」라는 직관보다 훨씬 큰데, 앞면이 나온 뒤 실패하면 처음부터 다시 시작해야 하기 때문입니다.

절반을 조금 넘길 뿐입니다. 이 분포는 오른쪽으로 길게 늘어져 있어, 평균보다 훨씬 오래 걸리는 경우들이 평균을 끌어올리기 때문입니다. 평균 시행 수는 「이만큼 하면 된다」가 아니라 「여러 번 되풀이했을 때의 평균」이라는 뜻입니다.

성공확률 자리에 실패할 확률을 넣으면 됩니다. 승률 60%인 상대와 100판을 두면 5연패가 나올 확률은 실패확률 0.4로 계산합니다. 연승과 연패는 같은 계산이고 어느 쪽을 «성공»으로 보느냐만 다릅니다.

매 시행이 서로 영향을 주지 않고 확률이 늘 같다는 전제 위의 계산입니다. 실력이 늘거나 컨디션이 이어지는 경우, 상대가 매번 달라지는 경우, 게임에 확정 천장이나 확률 상승 장치가 붙은 경우에는 전제가 깨집니다. 시행이 정말 독립인지 먼저 따져 보는 편이 낫습니다.

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