켈리 공식 계산기

f* = (b·p − q)/b입니다. p는 승률, q는 1−p, b는 순배당(1을 걸어 b를 딴다)입니다. 승률 60%에 1:1 배당이면 f* = (1×0.6 − 0.4)/1 = 0.2로 자금의 20%입니다. 이 식은 한 번당 기대 로그성장률 g(f) = p·ln(1+bf) + q·ln(1−f)를 최대로 만드는 f를 구한 것입니다.

기댓값을 최대화하면 유리한 내기에 전액을 걸어야 한다는 답이 나오는데, 그러면 한 번 지는 순간 자금이 0이 되어 복리가 끊기기 때문입니다. 자금이 곱셈으로 불어나는 상황에서는 산술평균이 아니라 기하평균이 장기 결과를 결정합니다. 켈리 공식은 그 기하평균 성장률을 최대화합니다.

성장률의 약 3/4를 지키면서 변동성은 절반으로 줄기 때문입니다. g(f)를 최적점 근처에서 2차로 펴면 켈리의 절반에서 성장률이 정확히 3/4가 되고, 자금이 언젠가 반토막 날 확률은 50%에서 12.5%로 떨어집니다. 잃는 것에 비해 얻는 것이 훨씬 커서 실무에서 절반을 씁니다. 승률 추정이 조금 빗나가도 실제 켈리를 넘지 않을 여유를 준다는 점도 큽니다.

자금이 언젠가 절반까지 떨어질 확률이 50%입니다. 3분의 1로 줄 확률은 3분의 1입니다. 켈리는 성장률만 최대화할 뿐 변동을 전혀 제어하지 않기 때문입니다. 켈리의 c배를 걸 때 자금이 언젠가 원금의 x배까지 떨어질 확률은 x^(2/c − 1)이고, 이 값은 승률이나 배당과 무관하게 c만으로 정해집니다. 하프 켈리면 12.5%, 쿼터 켈리면 0.8%입니다.

실제 켈리의 두 배를 넘게 걸면 유리한 내기인데도 자금이 장기적으로 줄어듭니다. 승률을 55%로 봤는데 실제가 52%라면 3%p 차이일 뿐이지만 계산된 비율은 실제 켈리의 2.5배가 되어 성장률이 음수가 됩니다. 반대로 낮춰 잡으면 성장률이 조금 깎일 뿐이라 비대칭이 심합니다. 확신이 없으면 낮춰 잡는 편이 안전합니다.

걸지 말라는 뜻입니다. 기대 순이익 b·p − q가 마이너스라는 것이고, 어떤 비율로 걸어도 장기적으로는 자금이 줄어듭니다. f*가 정확히 0이 되는 승률 p = 1/(b+1)이 그 배당이 함축하는 확률이며, 추정 승률이 그보다 낮으면 배당이 불리하게 매겨져 있다는 신호입니다.

그대로 쓰면 안 됩니다. 이것은 승률과 배당을 정확히 안다고 가정했을 때의 수식 계산이지 투자 권유가 아닙니다. 실제 시장에서는 그 두 값을 알 수 없고, 위에서 봤듯 추정이 조금만 빗나가도 결론이 뒤집힙니다. 결과가 매번 독립이고 배당이 고정이며 거래비용이 없다는 가정도 실제로는 성립하지 않습니다.