만델브로트 집합 계산기

z₀=0에서 시작해 z_{n+1}=z_n²+c를 반복했을 때 |z_n|이 영원히 2를 넘지 않는 복소수 c들의 모임입니다. 넘는 순간이 오면 그 뒤로는 반드시 무한대로 발산한다는 것이 증명돼 있어서, "2를 넘는지"만 확인하면 됩니다(이스케이프 타임 알고리즘).

|z_n|이 한 번이라도 2를 넘으면 다음 항의 크기가 항상 그 전보다 커져서 반드시 무한대로 발산한다는 사실이 수학적으로 증명돼 있기 때문입니다. 그래서 2를 넘는 순간을 "발산 확정"으로 보고 계산을 멈출 수 있습니다.

z_0=0에서 시작해 c=0을 계속 더해도 z_n이 영원히 0이라 절대 발산하지 않기 때문입니다. 원점은 만델브로트 집합에서 가장 큰 도형인 카디오이드(심장형)의 중심입니다.

-2부터 0.25까지입니다. c=-2를 넣으면 z가 -2, 2, 2, 2…로 그대로 머물러 발산하지 않는 경계점임을 확인할 수 있고, c=-2.5처럼 그보다 왼쪽인 값은 1번째 반복만에 바로 발산합니다.

그렇게 "추정"하는 것입니다. 반복 상한을 다 채우고도 |z_n|이 2를 넘지 않았다는 뜻일 뿐, 상한보다 더 반복하면 넘을 가능성이 완전히 없는 것은 아닙니다. 다만 집합 경계에 아주 가깝지 않은 대부분의 점은 상한을 넉넉히 주면 실제로도 집합 안입니다.

격자 칸 수 × 반복 상한만큼 계산량이 늘어나기 때문입니다. 예컨대 160×120칸에 반복 상한 1000이면 칸마다 최대 1000번씩, 최악의 경우 약 1900만 번을 반복해야 해서 브라우저가 버벅일 수 있습니다. 그래서 격자는 가로세로 각각 160·120칸, 반복은 1000번까지로 제한합니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.