M/M/1 대기행렬 계산기
시간당 도착 건수와 한 건 처리 시간을 넣으면 평균 대기시간·대기 인원·이용률과 몇 명이 밀려 있을 확률을 계산합니다. 이용률이 조금만 올라도 줄이 급격히 길어지는 것을 표로 나란히 보여 주고, 자리가 한정된 경우의 손실률도 다룹니다.
이용률 80.0%
평균 16분 기다립니다
줄 서 있는 사람이 평균 3.2명이고, 처리까지 끝나는 데는 평균 20분 걸립니다.
몇 명이 있을 확률
| 인원 | 확률 | 이하일 확률 |
|---|---|---|
| 0명 (비어 있음) | 20.00% | 20.00% |
| 1명 | 16.00% | 36.00% |
| 2명 | 12.80% | 48.80% |
| 3명 | 10.24% | 59.04% |
| 4명 | 8.19% | 67.23% |
| 5명 | 6.55% | 73.79% |
| 6명 | 5.24% | 79.03% |
| 7명 | 4.19% | 83.22% |
| 8명 | 3.36% | 86.58% |
| 9명 | 2.68% | 89.26% |
| 10명 | 2.15% | 91.41% |
| 11명 | 1.72% | 93.13% |
이용률을 올리면
| 이용률 | 줄 선 인원 | 대기시간 |
|---|---|---|
| 50% | 0.5명 | 4분 |
| 60% | 0.9명 | 6분 |
| 70% | 1.63명 | 9.3분 |
| 80% | 3.2명 | 16분 |
| 90% | 8.1명 | 36분 |
| 95% | 18.05명 | 76분 |
| 99% | 98.01명 | 396분 |
이용률 90%와 95%는 여유가 5%밖에 다르지 않지만 줄은 두 배가 넘습니다. 「아직 여유가 있다」는 말과 「대기가 짧다」는 말은 전혀 다르며, 이용률을 100%에 가깝게 쓰는 설계가 위험한 이유가 여기 있습니다.
사용 방법
- 1한 시간에 몇 건이 들어오는지 넣습니다.
- 2한 건을 처리하는 데 걸리는 평균 시간을 분 단위로 넣습니다.
- 3평균 대기시간과 이용률을 확인합니다.
- 4자리가 한정된 창구라면 「자리 한정」으로 바꾸고 자리 수를 넣어 돌아가는 비율을 봅니다.
- 5아래 「이용률을 올리면」 표에서 여유가 줄어들 때 대기가 어떻게 서는지 확인합니다.
자주 묻는 질문
도착이 포아송(M), 처리 시간이 지수분포(M), 창구가 하나(1)라는 뜻입니다. 앞의 M은 도착 간격이 «기억이 없는» 분포라는 뜻으로, 방금 한 건이 왔다는 사실이 다음 건이 언제 올지에 아무 영향을 주지 않는 상황을 말합니다.
도착과 처리가 들쭉날쭉하기 때문입니다. 평균으로는 여유가 있어도 몰리는 순간이 있고, 그때 밀린 것이 뜸한 순간에 다 해소되지 않습니다. 대기가 0이 되려면 도착이 완벽히 고르고 처리 시간도 일정해야 합니다.
대기가 급격히 길어지므로 권하지 않습니다. 이용률 50%에서 줄 선 인원이 0.5명이라면 90%에서는 8.1명, 95%에서는 18명이 됩니다. 여유가 10%에서 5%로 줄었을 뿐인데 줄은 두 배가 넘습니다 — 대기 인원이 ρ²/(1−ρ)라 1에 가까워질수록 발산하기 때문입니다.
평균 대기시간이라고 부를 값이 없습니다. 도착이 처리보다 빠르면 밀린 일이 시간에 비례해 쌓이기만 하므로 정상상태가 존재하지 않습니다. 이 계산기는 그 경우 시간당 얼마씩 밀리는지와, 안정되려면 처리 시간이 얼마 아래여야 하는지를 알려 줍니다.
꽉 찬 동안 온 요청이 돌아간다고 보고 계산합니다. 이때는 이용률이 100%를 넘어도 답이 나오며, 대신 손실률(돌아가는 비율)이 생깁니다. 대기시간은 원래 도착률이 아니라 실제로 받아들인 도착률로 나눠야 맞습니다 — 돌아간 요청은 기다린 적이 없기 때문입니다.
이 계산기로는 다룰 수 없습니다. 창구가 c개인 경우는 M/M/c이고, 창구를 둘로 나눠 각각 M/M/1로 보는 것과 하나의 줄에서 둘이 처리하는 것은 결과가 크게 다릅니다(줄을 합치는 편이 훨씬 짧습니다). 상담원 수 산정은 콜센터 상담원 수 계산기에서 다룹니다.
리틀의 법칙 L = λW는 어떤 분포에서도 성립하는 관계식이고, 이 계산기는 그 L과 W를 실제로 구하는 도구입니다. 법칙만으로는 둘 중 하나를 알아야 나머지를 얻을 수 있지만, M/M/1을 가정하면 도착률과 처리율만으로 둘 다 나옵니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 정답지가 둘입니다. 하나는 태어남–죽음 과정의 균형식(πQ = 0, Σπ = 1)을 가우스 소거로 직접 푼 분포로, 닫힌 식 (1−ρ)ρⁿ를 전혀 쓰지 않는 방법입니다. 유한 대기실 여섯 경우와, 사슬을 120상태까지 늘린 무한 대기실 근사에서 두 값이 소수점 10자리까지 같은 것을 확인했습니다.
- 다른 하나는 줄을 실제로 세워 본 시뮬레이션입니다. 도착 간격과 처리 시간을 지수분포로 뽑아 선착순으로 처리하며(린들리 점화식) 평균 대기시간과 대기시간의 백분위수를 재고, 공식이 낸 값과 맞는지 봅니다. 확률식과 원리가 겹치지 않아 서로를 검산합니다.
- Little 법칙 L = λW와 Lq = λWq가 저절로 성립하는지도 검사합니다. 유한 대기실에서는 원래 도착률이 아니라 실제로 받아들인 도착률로 나눠야 성립하며, 이 구분을 빠뜨리는 것이 M/M/1/K에서 가장 흔한 실수입니다.
- 대기시간의 백분위수는 P(Wq > t) = ρ·e^(−(μ−λ)t)에서 나옵니다. 이용률이 50%면 절반은 아예 기다리지 않으므로 중앙값 대기시간이 0이라는 것도 그대로 따라 나오며, 시뮬레이션의 백분위수와도 맞는지 확인했습니다.
- 실제 창구는 이 가정과 다를 수 있습니다. 처리 시간이 지수분포보다 고르면 대기가 이 값보다 짧아지고, 편차가 크면 길어집니다. 값은 «가정 아래의 추정»으로 읽어 주세요.
- 자리는 200개까지 다룹니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.