카오스 게임 시에르핀스키 삼각형 생성기

삼각형 세 꼭짓점 중 하나를 매번 무작위로(각 1/3 확률) 고르고, 현재 점과 그 꼭짓점의 중점으로 옮겨 가는 것을 반복하는 규칙입니다. 이 단순한 규칙을 수천 번 반복해 점을 찍으면 시에르핀스키 삼각형이 나타납니다 — 규칙에는 «삼각형을 3등분해 가운데를 뺀다»는 개념이 전혀 없는데도 그렇습니다.

무작위로 꼭짓점을 고르고 중점으로 가는 이 규칙이 수렴하는 «끌개»(attractor)가 수학적으로 시에르핀스키 삼각형과 같기 때문입니다. 반복 함수계(IFS)라는 이론으로 설명되며, 시작점이 삼각형 안이기만 하면 시작점이 어디였는지와 무관하게 항상 같은 모양으로 수렴합니다.

삼각형은 볼록집합이고, 볼록집합 안의 두 점을 이은 선분(중점 포함)은 항상 그 집합 안에 있기 때문입니다. 시작점(무게중심)이 삼각형 안이므로, 다음 점(시작점과 어느 꼭짓점의 중점)도 안이고, 이 과정이 반복돼도 계속 안입니다. 그래서 점이 삼각형 밖으로 나갔는지만 확인해도 구현이 맞았는지 검증할 수 있습니다.

완전한 난수(Math.random)를 쓰면 같은 그림을 다시 만들 수 없기 때문입니다. 시드 하나로 도는 결정적 난수 생성기(mulberry32)를 써서, 같은 삼각형·시드·반복 횟수면 언제나 완전히 같은 점들이 찍히게 했습니다.

반복 한 번은 계산이 아주 가볍지만(중점 좌표 하나 구하는 것뿐), 그림을 그리는 격자가 커질수록 칸 수가 늘어 브라우저가 버벅일 수 있기 때문입니다. 반복은 최대 20만 번, 격자는 가로세로 최대 240칸까지 지원합니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.