아르키메데스 나선 계산기

극좌표에서 r = a + b·θ (θ는 라디안 각도)로 정의되는 나선입니다. 각도가 늘어나는 만큼 반지름이 일정한 비율로 늘어나는 것이 특징입니다 — 로그 나선처럼 배수로 커지지 않고, 늘 같은 간격으로 감깁니다.

θ가 한 바퀴(2π) 늘어날 때마다 반지름은 정확히 2π·b만큼 늘어납니다. 이 값이 pitch(감김 간격)이고, 나선의 어느 위치에서 재도 항상 똑같습니다 — 그래서 "등간격 나선"이라 부릅니다. 롤 형태로 감는 종이·필름이나 LP 레코드 홈이 이런 성질을 씁니다.

L = b·[F(θmax+a/b) − F(a/b)] 닫힌 형식으로 계산합니다. 여기서 F(u) = (u/2)√(u²+1) + (1/2)·asinh(u)입니다. b=0(원이 되는 경우)은 별도로 L = a·θmax(원호 길이)로 처리합니다.

닫힌 형식 공식을 촘촘한 수치적분(정의를 그대로 적용해 아주 잘게 나눠 더하는 방법)과 대조해 여러 (a, b, 회전 수) 조합에서 소수점 셋째 자리까지 일치함을 자체 테스트로 확인했습니다.

아르키메데스 나선은 반지름이 각도에 «비례»해서 커지고(r=a+bθ), 로그 나선은 각도에 따라 «지수적으로»(배수로) 커집니다(r=ae^(bθ)). 그래서 아르키메데스 나선은 감긴 자리끼리 간격이 항상 같고, 로그 나선은 바깥으로 갈수록 간격이 점점 넓어집니다. edu/logarithmic-spiral에서 로그 나선을 계산할 수 있습니다.