로그(등각) 나선 계산기
극좌표 r = a·e^(b·θ)로 그려지는 로그 나선(등각나선)의 최종 반지름·한 바퀴당 배율·호 길이·등각을 계산합니다. 앵무조개 껍데기에 가깝다고 알려진 나선입니다.
호 길이
107.1995
최종 반지름 16.902 · 한 바퀴당 배율 2.5663배
계산 방법
- 1시작 반지름 a(θ=0일 때 반지름, 0보다 커야 함)와 나선 진행 계수 b를 입력합니다.
- 2몇 바퀴(회전 수)까지 그릴지 입력합니다.
- 3최종 반지름·한 바퀴마다 곱해지는 배율·전체 호 길이·등각(반지름과 접선이 이루는 각)을 확인합니다.
자주 묻는 질문
극좌표에서 r = a·e^(b·θ) (θ는 라디안 각도)로 정의되는 나선입니다. 반지름이 각도에 지수적으로(배수로) 커지는 것이 특징입니다 — 아르키메데스 나선처럼 일정한 간격으로 벌어지지 않고, 바깥으로 갈수록 간격이 점점 넓어집니다.
나선 위의 어느 점에서 재도, 그 점에서의 반지름 벡터(중심에서 그 점으로 이은 선)와 나선의 접선이 항상 같은 각도로 만나기 때문입니다. 이 각도를 이 계산기에서는 «등각»으로 표시합니다.
항상 e^(2π·b)배로 커집니다. 이 배율은 나선의 어느 위치에서 재도 똑같습니다 — 아르키메데스 나선의 "간격이 항상 같다"에 대응하는 로그 나선의 성질이 "배율이 항상 같다"입니다.
dr/dθ = b·r이라는 성질 덕분에 L = √(1+b²)/b · (최종 반지름 − 시작 반지름) 로 간단히 구해집니다. 이 닫힌 형식을 정의 그대로의 촘촘한 수치적분과 대조해 검증했습니다.
실제 앵무조개 껍데기는 로그 나선과 «비슷한» 모양이지만 생물학적 성장에는 변동이 있어 수학적으로 완벽한 로그 나선과는 차이가 있습니다. "가까운 예"로 흔히 언급되지만 정밀히 일치한다고 단정할 수는 없습니다.
아르키메데스 나선은 반지름이 각도에 «비례»해서 커지고(r=a+bθ), 로그 나선은 각도에 따라 «지수적으로» 커집니다(r=ae^(bθ)). 그래서 아르키메데스 나선은 감긴 자리끼리 간격이 항상 같고, 로그 나선은 바깥으로 갈수록 간격이 점점 넓어집니다. edu/archimedean-spiral에서 아르키메데스 나선을 계산할 수 있습니다.
알아두면 좋은 점
- 시작 반지름 a는 0보다 커야 합니다(로그 나선은 원점(θ→−∞)에는 절대 닿지 않고 한없이 가까워질 뿐입니다).
- b가 음수이면 각도가 커질수록 반지름이 줄어드는(중심으로 수축하는) 나선이 됩니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 7일 · 결과는 참고용 추정치입니다.