아스트로이드 계산기

x=a·cos³t, y=a·sin³t (또는 x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3))로 나타나는, 네 축 위에 뾰족점 4개가 있는 별 모양 곡선입니다. 반지름 4a인 원 안쪽을 반지름 a인 원이 미끄러짐 없이 굴러갈 때 구르는 원 위의 한 점이 그리는 자취와 같습니다.

둘레는 항상 6a, 넓이는 항상 (3/8)πa²입니다. a가 얼마든 이 비율은 바뀌지 않으며, 매개변수 곡선의 호의 길이·넓이 공식을 직접 적분해 유도한 값입니다.

아스트로이드는 x축·y축에 대해 대칭이라 한 사분면(첫 «가지»)의 모양이 나머지 세 곳에 그대로 반복됩니다. 한 팔의 길이는 둘레의 정확히 1/4인 1.5a로 고정입니다.

셋 다 원이 굴러 그리는 곡선(룰렛 곡선) 가족이지만, 사이클로이드는 직선 위를, 카디오이드는 같은 크기의 원 밖을, 아스트로이드는 4배 큰 원 안쪽을 굴러 생깁니다. 굴러가는 자리와 반지름 비율에 따라 뾰족점 수와 식이 전혀 달라집니다.