네프로이드 계산기
반지름 2a인 원 밖을 반지름 a인 원이 굴러 그리는 네프로이드(콩팥형 곡선)의 둘레·넓이와 각도별 좌표·호의 길이를 계산합니다.
cm
°
0°와 180°가 뾰족점입니다. 180°면 위쪽 절반을 다 그린 상태입니다.
곡선 전체 넓이
3,769.911184㎠
둘레는 240cm, 고정원의 반지름은 20cm(=2a)입니다.
현재 위치(x, y)(-20, 0)cm
여기까지 그려진 호의 길이120cm
절반(0°→180°)의 길이(12a)120cm
곡선 전체 둘레(24a)240cm
곡선 전체 넓이(12πa²)3,769.911184㎠
반지름 2a인 고정원 밖을 반지름 a인 원이 굴러 그리는, 뾰족점이 2개인 콩팥(신장) 모양 곡선입니다. a가 얼마든 둘레는 항상 24a, 넓이는 항상 12πa²로, 두 값 모두 미적분으로 직접 검산됩니다.
계산 방법
- 1구르는 원의 반지름 a를 넣습니다(고정원의 반지름은 항상 2a입니다).
- 2각도(0~180°)를 넣습니다. 대칭이라 나머지 절반은 값이 그대로 반복됩니다.
- 3그 지점의 좌표와 거기까지 그려진 호의 길이, 곡선 전체의 둘레·넓이가 함께 나옵니다.
자주 묻는 질문
반지름 2a인 고정원 밖을 반지름 a인 원이 미끄러짐 없이 굴러갈 때, 구르는 원 위의 한 점이 그리는 곡선입니다. 뾰족점(cusp)이 2개뿐인 콩팥(신장) 모양이라 이런 이름이 붙었습니다.
둘레는 항상 24a, 넓이는 항상 12πa²입니다. a가 얼마든 이 비율은 바뀌지 않으며, 매개변수 곡선의 호의 길이·넓이 공식을 직접 적분해 유도한 값입니다.
둘 다 에피사이클로이드(원 밖을 도는 원이 그리는 곡선)지만, 카디오이드는 고정원과 구르는 원의 반지름이 같아(R=r) 뾰족점이 1개, 네프로이드는 고정원이 두 배(R=2r)라 뾰족점이 2개입니다.
네프로이드는 x축에 대해 대칭이라 위쪽 절반(0°~180°)의 모양이 아래쪽에 그대로 반복됩니다. 절반의 길이는 둘레의 정확히 절반인 12a로 고정입니다.
알아두면 좋은 점
- 고정원과 구르는 원이 항상 R=2a, r=a 비율인 표준 네프로이드만 다룹니다.
- 각도는 0°에서 180°까지만 받습니다. 대칭이라 나머지 절반은 같은 값이 반복됩니다.
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카디오이드극좌표 r=a(1+cosθ)가 그리는 카디오이드(심장형 곡선)의 넓이·둘레와 각도별 좌표·호의 길이를 계산합니다.아스트로이드매개변수 x=a·cos³t, y=a·sin³t가 그리는 아스트로이드(별모양 곡선)의 둘레·넓이와 각도별 좌표·호의 길이를 계산합니다.사이클로이드직선을 미끄러짐 없이 구르는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드 곡선의 위치·호의 길이·아치의 밑넓이를 구합니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.15퍼즐 판정슬라이딩 퍼즐 배치를 넣으면 아무리 밀어도 맞출 수 있는 배치인지 판정합니다.
마지막 검증: 2026년 9월 7일 · 결과는 참고용 추정치입니다.