사이클로이드 계산기
직선을 미끄러짐 없이 구르는 원 위의 한 점이 그리는 사이클로이드 곡선의 위치·호의 길이·아치의 밑넓이를 구합니다.
cm
°
360°면 아치 하나를 다 그린 상태입니다.
여기까지 그려진 호의 길이
80cm
반지름 10cm 원이 360° 굴렀을 때입니다.
현재 위치(x, y)(62.8319, 0)cm
호의 길이80cm
아치 하나 전체 길이(8r)80cm
아치 밑변(2πr)62.831853cm
아치 최대 높이(2r)20cm
아치 밑넓이(3πr²)942.477796㎠
바닥을 미끄러짐 없이 구르는 원 위의 한 점이 그리는 자취가 사이클로이드입니다. 한 바퀴(360°)를 다 구르면 아치 하나가 완성되고, 그 길이는 항상 지름의 4배(=8r), 밑넓이는 항상 구르는 원 넓이의 3배(=3πr²)입니다 — 반지름이 얼마든 이 비율은 바뀌지 않습니다.
계산 방법
- 1구르는 원의 반지름을 넣습니다.
- 2원이 얼마나 굴렀는지 각도(0~360°)를 넣습니다. 360°면 아치 하나를 다 그린 상태입니다.
- 3그 지점까지 곡선 위 점의 좌표와 호의 길이, 아치 하나의 표준값(밑변·높이·넓이)이 함께 나옵니다.
자주 묻는 질문
바닥을 미끄러짐 없이 구르는 원 둘레 위의 한 점이 그리는 곡선입니다. 자전거 바퀴에 야광 스티커를 붙이고 밤에 달리면 보이는 물결 모양의 아치가 바로 이것입니다.
반지름 r인 원이 한 바퀴(360°) 구르는 동안 그리는 호의 길이는 항상 8r, 즉 지름의 4배입니다. 반지름이 얼마든 이 비율은 바뀌지 않습니다.
아치 하나가 바닥과 감싸는 넓이는 구르는 원 넓이(πr²)의 정확히 3배(3πr²)입니다. 1673년 로베르발이 처음 구한 값으로, 사이클로이드가 «완벽한 원과 정확한 정수배 관계를 갖는» 대표적인 예로 꼽힙니다.
네, 뒤집힌 사이클로이드가 중력만으로 두 점 사이를 가장 빨리 내려가는 곡선(최속강하선)이자, 어디서 출발해도 바닥까지 걸리는 시간이 같은 곡선(등시곡선)임이 증명되어 있습니다. 이 도구는 곡선의 위치·길이·넓이만 계산하며 강하 시간은 다루지 않습니다.
알아두면 좋은 점
- 표준 사이클로이드(원이 미끄러지지 않고 직선 위를 구르는 경우)만 다룹니다. 트로코이드(점이 원 안쪽·바깥쪽에 있는 경우)는 식이 다릅니다.
- 각도는 0°에서 360°까지만 받습니다. 아치가 여러 개 이어지는 경우 360°로 나눈 나머지를 넣고 완성된 아치 수만큼 길이·넓이를 따로 더하면 됩니다.
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아르키메데스 나선극좌표 r = a + b·θ로 그려지는 아르키메데스 나선의 최종 반지름·감김 간격(pitch)·호 길이를 계산합니다.로그 나선극좌표 r = a·e^(b·θ)로 그려지는 로그 나선(등각나선)의 최종 반지름·한 바퀴당 배율·호 길이·등각을 계산합니다.원운동·구심력반지름과 속도로 구심가속도·구심력·주기를 구합니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.15퍼즐 판정슬라이딩 퍼즐 배치를 넣으면 아무리 밀어도 맞출 수 있는 배치인지 판정합니다.
마지막 검증: 2026년 9월 7일 · 결과는 참고용 추정치입니다.