베르트랑 발라 문제 계산기

두 후보 A(a표), B(b표, a>b)를 한 표씩 무작위 순서로 개표할 때, A가 처음부터 끝까지 한 번도 뒤지거나 동률이 되지 않을 확률을 묻는 문제입니다. 1887년 조제프 베르트랑이 제시했고 답은 놀랍도록 단순한 (a-b)/(a+b)입니다.

반사원리라는 증명 기법 덕분입니다. "A가 한 번이라도 뒤지거나 동률이 된" 나쁜 개표 순서들을, 어떤 시점부터 A표와 B표를 맞바꿔 "B가 a표를, A가 b표를 받은 경우의 개표 순서"와 정확히 하나씩 짝지을 수 있습니다. 이 대응 덕분에 나쁜 경우의 개수를 직접 세지 않고도 정확한 확률을 구할 수 있습니다.

됩니다. 예를 들어 A가 3표, B가 1표면 가능한 개표 순서는 4가지(AAAB, AABA, ABAA, BAAA)이고, 이 중 A가 계속 앞서는 것은 AAAB, AABA 2가지입니다. 2/4=0.5이고, 공식 (3-1)/(3+1)=0.5와 정확히 같습니다. 이 계산기는 득표수 합이 작을 때 이렇게 직접 나열해 검산합니다.

개표 방송에서 흔히 보는 "줄곧 앞서다 역전당하는" 상황이 얼마나 이례적인지를 정량적으로 보여줍니다. 득표 차이가 클수록(a가 b보다 훨씬 크면) 계속 앞설 확률이 1에 가까워지고, 득표 차이가 근소하면(a가 b보다 살짝 클 때) 이 확률도 0에 가깝게 작아집니다.