비티 수열(Beatty sequence) 계산기
무리수 r의 정수배를 바닥함수로 자른 비티 수열 ⌊n·r⌋을 계산하고, 짝이 되는 수열과 함께 정수 전체를 정확히 나눠 덮는 레일리 정리를 확인합니다.
레일리 정리가 안정적으로 성립하는 검증된 무리수 프리셋입니다.
r = 황금비 φ
1.6180339887
짝 s = φ² (=φ+1) = 2.6180339887 · 1/r + 1/s = 1
| n | B_r(n) = ⌊n·r⌋ | B_s(n) = ⌊n·s⌋ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 5 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 8 | 13 |
| 6 | 9 | 15 |
| 7 | 11 | 18 |
| 8 | 12 | 20 |
| 9 | 14 | 23 |
| 10 | 16 | 26 |
| 11 | 17 | 28 |
| 12 | 19 | 31 |
계산 방법
- 1무리수 r을 프리셋(황금비·√2·√3·π·e)에서 고릅니다.
- 2짝이 되는 무리수 s = r/(r−1)이 자동으로 계산됩니다(1/r+1/s=1).
- 3두 수열을 몇 항까지 볼지 정합니다.
- 4레일리 정리 확인 — 두 수열을 합치면 정수 전체를 겹침·빠짐 없이 정확히 나눠 덮는지 봅니다.
자주 묻는 질문
무리수 r에 1, 2, 3, ...을 곱한 뒤 바닥함수(소수점 버림)를 취한 수열입니다. B_r(n) = ⌊n·r⌋로 씁니다. 예를 들어 황금비 φ≈1.618로는 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11...이 나옵니다.
r과 s가 둘 다 무리수이고 1/r + 1/s = 1을 만족하면, 두 비티 수열 B_r과 B_s가 양의 정수 전체를 정확히 한 번씩만 나눠 덮는다는 정리입니다(1926년 새뮤얼 비티가 문제로 제기했고 레일리 경이 이미 알고 있었다고 알려져 있습니다). 어떤 양의 정수도 두 수열 중 딱 하나에만 나타납니다.
r을 황금비 φ로 두면 짝 s는 φ²(=φ+1)이 되고, 이때 B_φ는 하부 위토프 수열(OEIS A000201), B_φ²는 상부 위토프 수열(OEIS A001950)이 됩니다. 위토프 게임(님 변형 게임)의 필승 위치를 나타내는 유명한 수열로, 비티 수열의 가장 유명한 사례입니다.
레일리 정리는 r, s가 둘 다 무리수여야 성립합니다. 소수를 직접 입력하게 하면 사용자가 무심코 유리수(예: 1.5)를 넣어 두 수열이 정수를 겹치거나 건너뛰게 되는데, 겉보기로는 그 이유를 알기 어렵습니다. 그래서 무리수임이 확실한 값(황금비·√2·√3·π·e)만 프리셋으로 제공합니다.
아니요. 모든 계산은 브라우저 안에서만 이뤄지며 서버로 전송되지 않습니다.
알아두면 좋은 점
- r은 검증된 무리수 프리셋(황금비·√2·√3·π·e)만 고를 수 있습니다. 레일리 정리는 r, s가 둘 다 무리수여야 성립하기 때문입니다.
- 값은 부동소수점(double) 계산입니다. n이 매우 커지면 반올림 오차가 누적될 수 있어 이 계산기가 다루는 범위로 제한합니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 8일 · 결과는 참고용 추정치입니다.