연분수·근사분수 계산기
수를 연분수 [a0; a1, a2, …]로 펼치고 단계마다 얻는 근사분수를 보여줍니다. 원주율이 355/113으로 근사되는 과정을 그대로 볼 수 있습니다.
355/113 이 소수점 아래 여섯 자리까지 맞습니다.
3.1415926536의 연분수
[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
가장 좋은 근사분수 1146408/364913 · 오차 1.61e−12
끊어 가며 얻는 근사분수
| 항 | 근사분수 | 값 | 오차 |
|---|---|---|---|
| a0 = 3 | 3/1 | 3 | −0.14159265 |
| a1 = 7 | 22/7 | 3.14285714 | 0.00126449 |
| a2 = 15 | 333/106 | 3.14150943 | −8.32e−5 |
| a3 = 1 | 355/113 | 3.14159292 | 2.67e−7 |
| a4 = 292 | 103993/33102 | 3.14159265 | −5.78e−10 |
| a5 = 1 | 104348/33215 | 3.14159265 | 3.32e−10 |
| a6 = 1 | 208341/66317 | 3.14159265 | −1.22e−10 |
| a7 = 1 | 312689/99532 | 3.14159265 | 2.91e−11 |
| a8 = 2 | 833719/265381 | 3.14159265 | −8.72e−12 |
| a9 = 1 | 1146408/364913 | 3.14159265 | 1.61e−12 |
무리수라 끝없이 이어집니다. 항을 늘릴수록 오차가 줄어듭니다.
계산 방법
- 1펼칠 수를 넣거나 아래 칩에서 고릅니다.
- 2항을 몇 개까지 구할지 정합니다.
- 3표에서 단계마다 얻는 근사분수와 오차를 확인하세요.
자주 묻는 질문
x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + …)) 꼴로 쓴 것을 [a0; a1, a2, …]로 적습니다. 정수 부분을 떼고 남은 소수의 역수를 취하는 과정을 반복해서 만듭니다.
원주율의 연분수 [3; 7, 15, 1, 292, …]를 네 항까지 끊은 근사분수입니다. 소수점 아래 여섯 자리까지 맞는데 분모가 세 자리뿐입니다. 다음 항 292가 유난히 커서 여기서 끊은 근사가 특히 잘 맞습니다.
분모가 그 이하인 모든 분수 중에서 원래 수에 가장 가깝기 때문입니다. 그냥 가까운 정도가 아니라 최적입니다. 22/7보다 분모가 7 이하이면서 원주율에 더 가까운 분수는 없습니다.
유리수면 반드시 끝납니다. 이 계산은 유클리드 호제법과 똑같아서, 분수를 넣으면 최대공약수를 구하듯 유한한 항으로 끝납니다. 끝나지 않으면 그 수는 무리수입니다.
φ = 1 + 1/φ라는 관계 때문입니다. 항이 모두 1이라는 것은 어느 자리에서 끊어도 근사가 가장 더디게 좋아진다는 뜻이라, 황금비는 유리수로 근사하기 가장 어려운 수입니다. 근사분수의 분자와 분모는 피보나치 수열입니다.
1년은 약 365.2422일이고, 소수 부분을 연분수로 펼치면 1/4, 7/29, 8/33, 31/128이 나옵니다. 1/4이 율리우스력의 4년마다 윤년이고, 8/33은 페르시아 달력이 쓴 규칙입니다.
알아두면 좋은 점
- 이진 부동소수점은 소수 15~16자리까지만 담습니다. 항을 많이 늘리면 반올림 오차를 펼치게 되므로 분모가 갑자기 커지면 거기까지만 보세요.
- 근사분수는 pk = ak·pk−1 + pk−2, qk = ak·qk−1 + qk−2 로 구합니다.
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마지막 검증: 2026년 8월 30일 · 결과는 참고용 추정치입니다.