벤포드 법칙 검정기

자연히 생긴 숫자 더미에서 맨 앞자리가 1인 경우가 30.1%로 가장 많다는 규칙입니다. 첫 자리가 d일 확률이 log₁₀(1 + 1/d)를 따라, 1은 30.1%, 2는 17.6%, 3은 12.5%로 줄어들어 9는 4.6%까지 내려갑니다. 아홉 숫자가 고르게 11.1%씩 나올 것 같지만 그렇지 않습니다.

어떤 양이 일정한 비율로 자라면 로그 눈금 위에 고르게 흩어지기 때문입니다. 10만 원이 20만 원이 되는 데 걸리는 시간과 20만 원이 40만 원이 되는 데 걸리는 시간이 같다면, 그 값은 로그 눈금에서 균일합니다. 로그 눈금에서 1과 2 사이의 칸은 8과 9 사이의 칸보다 훨씬 넓고, 넓은 칸에 더 많이 떨어질 뿐입니다.

자릿수를 여러 개 걸치며 비율로 자라는 자료에만 쓸 수 있습니다. 회계 전표 금액, 인구, 하천 유량, 주가처럼 값의 크기가 크게 벌어지는 자료가 여기 해당합니다. 반대로 사람 키(150~190cm), 신발 사이즈, 시험 점수처럼 범위가 좁은 자료, 계좌번호·주민번호·전화번호처럼 사람이 배정한 번호, 1만 원 이상만 뽑은 것처럼 최솟값이 걸린 자료에는 성립하지 않습니다. 이 계산기는 최대와 최소가 10배도 차이 나지 않으면 경고를 띄웁니다.

표본이 크면 MAD를 보는 편이 낫습니다. 카이제곱은 표본이 커질수록 아주 작은 어긋남에도 기각으로 기울어, 2만 5천 건쯤을 넘으면 사실상 모든 실제 자료가 벤포드를 따르지 않는다고 나옵니다. MAD(평균절대편차)는 표본 크기와 무관해서, Nigrini가 정한 첫 자리 기준으로 0.006 미만이면 잘 맞음, 0.012 미만이면 받아들일 만함, 0.015 미만이면 경계, 그 위는 안 맞음으로 봅니다. 다만 MAD 기준은 이론적으로 유도된 값이 아니라 경험적으로 정한 값입니다.

아닙니다. 어긋남은 더 들여다볼 곳을 가리킬 뿐 부정의 증거가 아닙니다. 반올림 관행, 9,900원 같은 가격 정책, 결재 한도에 맞춰 끊은 금액, 자료를 뽑을 때 건 조건만으로도 얼마든지 어긋납니다. 반대로 잘 맞는다고 해서 조작이 없다는 뜻도 아닙니다. 감사 실무에서 벤포드 검정은 어디를 더 볼지 표본을 좁히는 도구이지 결론을 내는 도구가 아닙니다.

최소 30개는 있어야 하고, 실무에서는 수백 개 이상을 권합니다. 카이제곱 검정은 각 칸의 기대도수가 5 이상일 때 근사가 성립하는데, 벤포드에서 가장 작은 칸인 9가 4.6%이므로 표본이 110개는 되어야 그 칸의 기대도수가 5를 넘습니다. 30개 미만이면 이 계산기는 판정을 내지 않습니다.