베르누이 부등식 계산기

x ≥ −1이고 실수 n ≥ 1이면 (1+x)ⁿ ≥ 1+nx가 항상 성립한다는 부등식입니다. 유체가 빨라지면 압력이 낮아진다는 유체역학의 베르누이 「원리」와는 이름만 같을 뿐 완전히 다른, 순수한 거듭제곱 부등식입니다.

이항정리로 (1+x)ⁿ을 1+nx+Σₖ₌₂ⁿ C(n,k)xᵏ로 전개할 수 있는데, x≥−1에서는 이 「나머지 항」 합이 항상 0 이상이 됩니다. 예를 들어 n=3이면 나머지가 3x²+x³=x²(3+x)인데 x≥−1이면 3+x≥2>0이라 항상 0 이상입니다.

g(x)=(1+x)ⁿ의 2계도함수 g″(x)=n(n−1)(1+x)ⁿ⁻²가 n≥1, x≥−1에서 0 이상이라 g는 볼록함수입니다. 볼록함수의 그래프는 항상 자신의 접선 위에 있는데, x=0에서의 접선이 바로 1+nx입니다(옌센 부등식, edu/jensen-inequality과 같은 뿌리). 그래서 정수가 아닌 n에서도 부등식이 성립합니다.

x=0일 때(양변이 모두 1) 또는 n=1일 때(양변이 모두 1+x) 성립합니다. 그 밖의 모든 경우는 좌변이 우변보다 엄격하게 큽니다.

(1+x)ⁿ 같은 거듭제곱식을 손으로 계산하기 번거로울 때 1+nx로 근사해도 값이 과소평가되지 않는다는 것을 보장해 줍니다. 복리 계산이나 극한·급수 증명에서 위쪽 경계 없이 아래쪽 경계만 필요할 때 자주 쓰입니다.

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