영 부등식 계산기

a, b ≥ 0이고 1/p+1/q=1(p, q>1, 켤레지수)일 때 ab ≤ aᵖ/p + bᵠ/q가 항상 성립한다는 부등식입니다. 등호는 aᵖ = bᵠ일 때만 성립합니다.

p=q=2를 대입하면 ab ≤ a²/2+b²/2가 되는데, 이는 a²−2ab+b² ≥ 0, 즉 (a−b)² ≥ 0과 동치입니다. 제곱은 항상 0 이상이므로 외부 자료 없이도 이 경우는 바로 증명됩니다.

ln이 오목함수라는 사실(edu/jensen-inequality와 같은 뿌리)에서 나옵니다. ln(ab) = (1/p)ln(aᵖ) + (1/q)ln(bᵠ)인데, 오목함수의 옌센 부등식에 의해 이 값은 ln(aᵖ/p + bᵠ/q) 이하입니다. 양변에 지수를 취하면 영의 부등식이 됩니다.

edu/holder-inequality의 증명에 바로 이 부등식이 쓰입니다. x, y를 각자의 노름으로 정규화한 값(aᵢ=|xᵢ|/‖x‖ₚ, bᵢ=|yᵢ|/‖y‖ᵩ)에 영의 부등식을 적용해 모두 더하면 Σaᵢbᵢ ≤ 1이 나오고, 여기에 두 노름의 곱을 곱하면 횔더 부등식이 됩니다.

aᵖ = bᵠ일 때만 성립합니다. p=q=2라면 이는 a=b(또는 a=-b이지만 a,b≥0이라 a=b)와 같습니다.

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