베르누이 수·거듭제곱 합 계산기

1^k + 2^k + … + n^k을 n에 대한 닫힌 식으로 쓸 때 그 계수를 만들어 내는 유리수 수열입니다. k가 무엇이든 이 합은 n에 대한 (k+1)차 다항식이 되는데, 그 계수가 베르누이 수로 표현됩니다. B₀ = 1, B₁ = −1/2, B₂ = 1/6, B₄ = −1/30 식으로 이어집니다.

재귀식 Σ_{j=0}^{m} C(m+1, j)·B_j = 0에서 B_m을 풀면 됩니다. 정리하면 B_m = −1/(m+1) × Σ_{j<m} C(m+1, j)·B_j이고, B₀ = 1에서 출발해 차례로 채웁니다. 이때 반드시 유리수로 정확히 계산해야 합니다 — 부동소수점으로 하면 B₂₀ 근처에서 이미 값이 무너집니다.

둘 다 쓰이며 어느 쪽도 틀린 것이 아닙니다. 표에 실리는 「알려진 값」은 B₁ = −1/2이고 이 계산기의 표도 그쪽입니다. 다만 그 값을 그대로 파울하버 공식에 넣으면 Σ_{i=1}^{n}이 아니라 Σ_{i=0}^{n−1}이 나옵니다. 그래서 거듭제곱 합을 낼 때만 j = 1 항의 부호를 뒤집습니다. 나머지 Bₙ은 두 관례에서 완전히 같고 오직 B₁의 부호만 다릅니다.

B₁을 뺀 모든 홀수 번째가 0입니다. 생성함수 x/(eˣ−1)에 x/2를 더하면 짝함수가 되기 때문입니다. 짝함수의 테일러 전개에는 홀수 차수 항이 없으므로 그에 대응하는 베르누이 수도 사라집니다.

691은 분모가 아니라 분자에 있습니다 — B₁₂ = −691/2730입니다. 분모 2730 = 2·3·5·7·13은 폰 슈타우트–클라우젠 정리로 설명됩니다. B₂ₙ의 분모는 (p−1)이 2n을 나누는 모든 소수 p의 곱이고, 12를 나누는 1·2·4·6·12에 1을 더한 2·3·5·7·13이 정확히 그것입니다. 분자에 갑자기 나타나는 691은 리만 제타 함수와 모듈러 형식 이야기에서 되풀이해 등장하는 유명한 소수입니다.

검산표에서 n = 1부터 12까지 두 값을 나란히 보여 줍니다. 왼쪽은 닫힌 식에 n을 넣은 값이고 오른쪽은 1^k부터 n^k까지 실제로 하나씩 더한 값입니다. 두 값이 모두 같아야 하며, 유리수 연산으로 계산하므로 반올림 오차 때문에 어긋날 일이 없습니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.