칸토어 집합 계산기
구간을 반복해서 3등분하고 가운데를 들어내는 칸토어 집합의 남은 길이와 구간 개수, 하우스도르프 차원을 계산합니다.
0~7회
0회
1회
2회
4회
4회 반복 후
구간 16개
구간 하나 길이 0.012346 · 남은 전체 길이 0.197531
남은 구간 개수2^4 = 16개
구간 하나 길이0.012346
남은 전체 길이0.197531
하우스도르프 차원ln2/ln3 ≈ 0.6309
반복할수록 남는 길이는 0으로 다가갑니다. 매 단계 구간 개수는 2배가 되지만 길이는 1/3배가 되어, 전체 길이는 (2/3)ⁿ 배씩 줄어듭니다.
길이는 0인데 텅 비지는 않았습니다. 무한히 반복해도 남는 점의 개수는 처음 구간과 똑같이 비가산 무한(연속체 농도)입니다. 이 “선도 아니고 점의 모음도 아닌” 성질을 정량화한 값이 하우스도르프 차원 ln2/ln3 ≈ 0.6309이며, 1차원(선)보다 작고 0차원(점)보다 큽니다. 이 값은 반복 횟수·처음 길이와 무관한 상수입니다.
계산 방법
- 1처음 구간 길이와 반복 횟수를 넣습니다.
- 2반복할 때마다 구간이 2배로 늘고 길이가 1/3배로 줄어드는 과정을 막대로 확인합니다.
- 3남은 구간 개수·전체 길이와 하우스도르프 차원을 확인합니다.
자주 묻는 질문
구간 하나에서 시작해 매 단계 남아 있는 구간마다 가운데 1/3을 반복해서 들어내 만드는 집합입니다. n번 반복하면 구간 개수는 2ⁿ개로 늘고 각 구간 길이는 1/3ⁿ배로 줄어, 남은 전체 길이는 (2/3)ⁿ배가 됩니다.
길이(1차원 측도)는 0으로 수렴하지만 점 자체가 없어지는 것은 아닙니다. 무한히 반복해도 남는 점의 개수는 원래 구간과 똑같이 비가산 무한(연속체 농도)이라, "길이는 0인데 텅 비지는 않은" 집합이 됩니다.
자기 닮음 조각 N개가 원본을 1/r배로 축소한 도형이면 차원 D는 N=r^D를 만족합니다. 칸토어 집합은 조각 2개가 1/3배 축소본이라 D=ln2/ln3≈0.6309가 되며, 이는 선(1차원)도 점의 모음(0차원)도 아닌 그 사이 값이라는 뜻입니다. 반복 횟수나 처음 길이와 무관한 상수입니다.
알아두면 좋은 점
- 시각화는 반복 횟수가 커지면 구간이 2배씩 폭증해 화면에서 표현할 수 있는 범위(최대 7회)로 제한했습니다. 구간 개수·길이 계산 자체는 닫힌 식이라 반복 횟수에 제한이 없습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 9일 · 결과는 참고용 추정치입니다.