코흐 눈송이 둘레·넓이 계산기
정삼각형에서 시작해 반복할수록 변마다 삼각형이 튀어나오는 코흐 눈송이의 둘레와 넓이를 반복 횟수별로 계산합니다. 둘레는 반복마다 4/3배씩 늘어나 끝없이 커지는데 넓이는 처음 삼각형의 8/5배를 넘지 않는, 무한 둘레·유한 넓이의 역설을 직접 확인할 수 있습니다.
4회 반복 후 넓이
614.4147cm²
둘레는 284.4444cm로 반복마다 4/3배씩 한없이 늘어나지만, 넓이는 623.5383cm²(처음 삼각형의 8/5배)를 넘지 않습니다.
계산 방법
- 1처음 정삼각형의 한 변 길이를 넣습니다.
- 2반복 횟수(0~5회)를 고릅니다. 0회는 세분하지 않은 정삼각형 그대로입니다.
- 3그림에서 반복할수록 변마다 작은 삼각형이 튀어나오며 눈송이 모양이 되는 것을 볼 수 있습니다.
- 4아래에서 이번 반복의 둘레·넓이와, 넓이가 결코 넘지 않는 극한값을 함께 봅니다.
자주 묻는 질문
한 번 반복할 때마다 모든 변이 원래 길이의 1/3인 선분 4개로 바뀝니다. 변의 개수는 4배, 한 변의 길이는 1/3배가 되니 둘레 전체는 정확히 4/3배가 됩니다. n회 반복 후 둘레는 P(n) = 3s₀(4/3)ⁿ(s₀ = 처음 한 변)이고, (4/3)ⁿ은 반복할수록 한없이 커지므로 둘레도 무한히 늘어납니다.
k번째 반복에서 새로 튀어나오는 삼각형은 3·4^(k−1)개이고 각각의 넓이는 처음 삼각형의 (1/9)^k배(변 길이가 1/3^k배라 넓이는 그 제곱)입니다. 더해지는 넓이의 비율이 매번 4/9배(<1)로 줄어드는 등비급수라 전체 합이 유한한 값(처음 삼각형의 8/5배)으로 수렴합니다. 둘레는 매번 4/3배(>1)로 늘어나는 발산급수, 넓이는 매번 4/9배(<1)로 줄어드는 수렴급수라는 차이가 이 역설의 이유입니다.
A(∞) = (2√3/5)s₀² = (8/5)A₀입니다(A₀ = (√3/4)s₀²는 처음 정삼각형의 넓이). 반복 횟수를 계속 늘려도 이 값을 절대 넘지 않고 점점 가까워지기만 합니다.
공식(등비수열로 유도한 닫힌 형태 식)과, 실제로 재귀 세분해 만든 도형의 점으로 신발끈 공식·둘레 합을 직접 잰 값을 반복 0~6회에서 전부 대조했습니다. 두 방식은 유도 경로가 완전히 달라 서로 독립적인 검산이 됩니다.
5회면 이미 변이 3,072개라 화면에서는 매끈한 눈송이로 보이고, 그 이상은 그림으로 그려도 차이가 눈에 띄지 않습니다. 둘레·넓이 값 자체는 공식으로 계산하므로 반복 횟수 제한과 무관하게 정확합니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 반복 횟수가 늘수록 넓이가 계속 커지기만 하고 결코 극한값을 넘지 않는지, 도형을 직접 생성해 잰 둘레·넓이가 공식값과 일치하는지를 자동 테스트로 확인했습니다.
- 그림은 반복 5회까지만 그립니다. 그 이상의 반복은 둘레·넓이 숫자만 공식으로 계산해 보여줍니다.
- 실제로는 반복을 무한히 할 수 없으니 "무한 둘레"는 수학적 극한을 뜻합니다 — 어떤 반복 횟수에서도 둘레는 유한한 값입니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 6일 · 결과는 참고용 추정치입니다.