함수 볼록·오목 판별기

구간을 촘촘히 나눈 점들에서 구간별 평균기울기를 구해, 이 기울기 수열이 단조증가하면 볼록, 단조감소하면 오목으로 판별합니다. 2계 도함수의 부호를 직접 보는 대신 1계 기울기의 증감을 보는 방법이라, 나눗셈을 한 번만 해도 되어 수치 오차에 더 안정적입니다.

2계 도함수를 수치로 구하려면 (f(x+h)−2f(x)+f(x−h))/h²처럼 h의 제곱으로 나눠야 해서, h를 조금만 잘못 잡아도 반올림 오차가 크게 증폭됩니다. 반면 기울기(1계 도함수)는 h로 한 번만 나누므로 훨씬 안정적입니다. 두 방법은 수학적으로 동치입니다(기울기가 단조증가 = 2계 도함수가 0 이상).

판단불가로 표시됩니다. f(x)=x³을 0을 포함한 구간에서 검사하면 x<0에서는 오목, x>0에서는 볼록이라 구간 전체로는 어느 쪽도 아닙니다. 이때 기울기의 증가·감소 방향이 처음 바뀌는 지점(대략적인 변곡점)을 함께 보여줍니다.

구간의 양 끝 a, b와 중점에서 f(중점)과 (f(a)+f(b))/2를 직접 비교합니다. 볼록함수라면 f(중점) ≤ (f(a)+f(b))/2가 성립하는데, 이는 교과서의 볼록 정의를 그대로 한 번 적용해 본 것으로 전역 판정과 서로 대조하는 용도입니다.

이 계산기는 구간을 유한한 개수의 점으로 표본화합니다. 표본 사이 간격보다 좁은 곳에서만 국소적으로 볼록성이 깨지는 함수는 표본점 사이에 숨어 놓칠 수 있습니다. 이것은 수치적 표본화 방법 전체의 한계이며, 의심스러우면 구간을 좁혀 다시 확인하는 것이 좋습니다.

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