크래머 공식 계산기
연립방정식을 넣으면 행 연산 없이 행렬식 비율(xᵢ = det(Aᵢ)/det(A))만으로 각 변수를 구합니다. 가우스 소거 결과와 자동으로 교차검증합니다.
예: «1 1 1 6»은 x+y+z=6을 뜻합니다. 마지막 숫자가 우변입니다.
det(A)
-21
가우스 소거로 독립적으로 구한 해와 정확히 일치합니다.
x = det(Ax)/det(A)-105/-21 = 5
y = det(Ay)/det(A)-63/-21 = 3
z = det(Az)/det(A)42/-21 = -2
x(소수)5.0000
y(소수)3.0000
z(소수)-2.0000
xᵢ = det(Aᵢ)/det(A) — Aᵢ는 계수행렬 A의 i번째 열을 우변 벡터로 통째로 바꿔치기한 행렬입니다. 행 연산을 전혀 쓰지 않고, 변수마다 독립적인 행렬식 비율 하나로 값을 구합니다.
이 결과는 edu/gaussian-elimination(행 연산으로 푸는 완전히 다른 알고리즘)과 항상 같은 답을 내야 합니다. 완전히 다른 두 계산 경로가 같은 값을 낸다는 것이 계산이 옳다는 강한 증거입니다.
계산 방법
- 1한 줄에 방정식 하나씩, 계수와 우변을 순서대로 입력합니다(마지막 값이 우변).
- 2계수행렬의 행렬식 det(A)와, 각 열을 우변 벡터로 바꿔치기한 det(Aᵢ)를 확인합니다.
- 3xᵢ = det(Aᵢ)/det(A)로 구한 각 변수의 값과 가우스 소거로 얻은 결과가 일치하는지 확인합니다.
자주 묻는 질문
가우스 소거는 행을 더하고 빼는 연산을 반복해 답을 구하지만, 크래머 공식은 행 연산을 전혀 쓰지 않고 행렬식 두 개의 비율만으로 변수를 하나씩 독립적으로 구합니다. 계산 경로가 완전히 달라, 두 방법이 같은 답을 낸다는 것 자체가 서로에 대한 검증이 됩니다.
계수행렬 A에서 i번째 열만 우변 상수벡터 b로 통째로 바꿔치기한 행렬입니다. 나머지 열은 그대로 둡니다.
행렬식 하나를 여인수 전개로 구하는 데만 n! 번의 곱셈이 필요해, 변수가 많아질수록 가우스 소거보다 훨씬 느려집니다. 4×4만 넘어가도 비현실적으로 느려져, 실무에서는 거의 항상 가우스 소거나 LU 분해를 씁니다.
크래머 공식이 성립하지 않습니다. 이 경우 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많은데, 어느 쪽인지는 가우스 소거로 따로 확인해야 합니다.
알아두면 좋은 점
- 6×6까지 다룹니다. 변수가 많아지면 행렬식 계산량(n!)이 급격히 늘어 브라우저에서도 느려집니다.
- 입력값은 서버로 전송되지 않습니다. 브라우저에서만 계산됩니다.
함께 보면 좋은 도구
가우스 소거법증강행렬을 넣으면 행 연산을 한 단계씩 보이며 기약 행 사다리꼴까지 만들고, 계수(rank)를 견주어 해가 하나인지 무수히 많은지 없는지 판정합니다.역행렬행렬 오른쪽에 단위행렬을 붙여 행 연산으로 역행렬을 구하는 과정을 단계별로 보여 줍니다.행렬식최대 6×6 행렬의 행렬식을 여인수 전개 과정과 함께 구합니다.죄수와 상자죄수 수와 열 수 있는 상자 수를 넣으면 아무 상자나 여는 전략과 사이클을 따라가는 전략의 전원 성공 확률을 각각 구합니다.15퍼즐 판정슬라이딩 퍼즐 배치를 넣으면 아무리 밀어도 맞출 수 있는 배치인지 판정합니다.
마지막 검증: 2026년 9월 3일 · 결과는 참고용 추정치입니다.