3차 스플라인 보간 계산기

점과 점 사이 구간마다 다른 3차식을 쓰되, 이웃한 구간이 만나는 절점에서 값·1계 도함수(기울기)·2계 도함수(곡률)가 매끄럽게 이어지도록 맞춘 곡선입니다. 전 구간을 하나의 고차 다항식으로 맞추는 라그랑주·뉴턴 보간과 달리 각 구간은 항상 3차라, 점이 늘어도 차수가 올라가지 않습니다.

edu/interpolation의 라그랑주·뉴턴은 n개의 점을 지나는 n−1차 다항식 하나를 만드는데, 점이 늘수록 차수가 같이 올라가 가장자리에서 크게 요동치는 룽게(Runge) 현상이 생깁니다. 3차 스플라인은 구간마다 낮은 차수(3차)를 유지해 점을 늘려도 요동치지 않는 것이 핵심 차이입니다.

스플라인 조건만으로는 미지수보다 식이 2개 모자라 양 끝에 조건을 하나씩 더 걸어야 합니다. 자연 경계는 양 끝점에서 2계 도함수(곡률)를 0으로 두는 것으로, 가장 흔히 쓰는 방식입니다. 끝에서 곡선이 더 이상 휘지 않고 거의 직선처럼 빠져나갑니다.

내부 절점마다 "1계 도함수가 좌우 구간에서 같다"는 조건을 세우면, 미지수(절점의 2계 도함수)가 이웃한 절점 셋(자기 자신과 양옆)에만 걸리는 연립방정식이 됩니다. 그래서 계수행렬이 대각선 주변 세 칸에만 값이 있는 삼중대각 꼴이 되고, Thomas 알고리즘으로 O(n)에 빠르게 풀립니다.

계산은 되지만 외삽입니다. 스플라인은 데이터 구간 안에서만 곡률 조건을 걸어 뒀기 때문에, 범위를 벗어나면 마지막 구간의 3차식을 그대로 연장할 뿐이고 실제 곡선의 모양과는 무관합니다.